§5.4平面向量的综合应用最新考纲经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题．2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角)．4．向量与相关知识的交汇1平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．概念方法微思考1．根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示(1)线段的长度问题．(2)直线或线段平行问题．(3)直线或线段垂直问题．(4)角的问题等．2．如何用向量解决平面几何问题？提示用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线．(√)(2)在△ABC中，若AB·BC<0，则△ABC为钝角三角形．(×)(3)若平面四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该四边形一定是菱形．(√)(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：OP＝OA＋t(AB＋AC)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(√)题组二教材改编2．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案B解析AB＝(2，－2)，AC＝(－4，－8)，BC＝(－6，－6)，∴|AB|＝＝2，|AC|＝＝4，|BC|＝＝6，∴|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，∴△ABC为直角三角形．3．平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝4，则点P的轨迹方程是____________．答案x＋2y－4＝0解析由OP·OA＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.题组三易错自纠4．在△ABC中，已知AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________．2答案－或或解析①若A＝90°，则有AB·AC＝0，即2＋3k＝0，解得k＝－；②若B＝90°，则有AB·BC＝0，因为BC＝AC－AB＝(－1，k－3)，所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝；③若C＝90°，则有AC·BC＝0，即－1＋k(k－3)＝0，解得k＝.综上所述，k＝－或或.5．在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．答案5解析依题意得AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为|AC|·|BD|＝××＝5.6．已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为坐标原点，则AO·AP的最大值为________．答案6解析方法一由题意知，AO＝(2,0)，令P(cosα，sinα)，则AP＝(cosα＋2，sinα)．AO·AP＝(2,0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，故AO·AP的最大值为6.方法二由题意知，AO＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则AO·AP＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故AO·AP的最大值为6.题型一向量在平面几何中的应用例1(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若A...
