第九章直线、平面、简单几何体（二）本讲重点9.4直线与平面垂直的判定和性质9.5两个平面平行的判定和性质9.6两个平面垂直的判定和性质学习指导1．直线和平面垂直的判定（1）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（2）两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另外一个平面。（4）若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于这两个平面交线的直线垂直于另外一个平面。2．直线与平面垂直的性质（1）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。3．两个平面平行的判定（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（2）同垂直于一条直线的两个平面平行。（3）同平行于一个平面的两个平面平行。4．两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面（2）如果两个平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。5．面面垂直的判定（1）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（2）利用二面角的大小为90℃加以判定。6．三垂直定理及其逆定理（1）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这个斜线垂直。（2）三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这也和这条斜线的射影垂直。7．射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。8．最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线段和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。9．掌握直线与平面所成角的定义及其范围，如图所示：平面，有，在解选择、填空题时可以加快解题速度。10．掌握二面角、二面角的平面角的定义及其范围，掌握求解二面角的一般方法：①利用三垂线定理及其逆定理作出二面角的平面角；②证明所作的角为二面角的平面角；③解，用心爱心专心1求出平面角的大小；④下出结论。另外，利用面积射影定理：来求解，也能提高解题速度，其中为二面角的平面角，分母是平面图形的面积，分子是比平面图形在二面角的另一个面内的射影的面积。11．常见的几何结论：（1）如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上。另外，此结论的条件改为平面外一点与角的顶点的连线与角的两边所成的角相等，结论依然成立。（2）两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面有交线的话，这条交线与第三个平面垂直。（3）设是任一平面，点P是空间任一点，则过点P有且只有一条直线是的垂线；设是任一直线，点P是空间任一点，则过点P有且只有一个平面是的垂面。（4）若两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于另外一个平面的直线必在这个平面内。12．本讲主要要求学生灵活掌握线面垂直、线线垂直、面面垂直、面面平行的判定及性质定理，并加以灵活运用，要牢记定理及常见的几何结论，拓宽知识面，培养思维的敏捷性和发散性。例题选讲例1．如图，PO是平面的斜线，O是斜足，于A，BC是内过点O的直线，若是锐角，则有A．B．C．D．解：过A作于D，连结PD，平面PAD，设，，，是平面的斜线，是锐角又、都是锐角，故应选（C）。注：结论“”应熟练掌握，在解题时有着广泛的应用，从上述结论容易证得：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内的直线所成的一切角中最小角。例2．在正方体中，求BD与平面所成的角。解：连结，（法一）设，连结PO，过B作于。平面平面平面用心爱心专心2斜线BD在平面上的射影为DE，斜线BD与平面所成的角为。在直角梯形中，容易求得与平面所成的角为。注：求斜线与平面所成的角一般有三个步骤：（1）求出斜线在给定平面内的射影；（2）指出并论证斜线与平面所成的角是哪一个角；（3）在含有斜线与平面所成的角的三角形中，...
