复合函数的导数(一)●教学目标(一)教学知识点复合函数的求导法则.(二)能力训练要求1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够利用上述公式，并结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．(三)德育渗透目标1.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．2.培养学生归纳、猜想的数学方法．3.加深学生对一般和特殊的理解，培养学生用联系的观点看问题.4.培养学生的创新能力，提高学生的数学素质.●教学重点复合函数的求导法则的概念与应用，复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点.●教学难点复合函数的求导法则的导入与理解.要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解.●教学方法建构主义式由几个具体的实例，通过学生自己动手计算，比较结果，进行观察、总结，能够自己发现规律，得到结论.让学生主动地进行学习，而不是被动地接受知识.培养学生的创新意识.●教具准备实物投影仪先由几个例子，引出复合函数的求导法则.几个例子可以先写在纸上，用表格的形式写出，分别让学生求y′，y′u，u′x和y′u·u′x，答案写入表格中，让学生将y′与y′u·u′x的结果进行比较.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们已经学习一些基本初等函数的导数.基本初等函数一共有六种：①常量函数y=C(C是常数)，②幂函数y=xα(α∈R)，③指数函数y=ax(a>0，a≠1)，④对数函数，y=logax(a>0，a≠1，x>0)，⑤三角函数y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，⑥反三角函数y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx.其中常量函数、幂函数、三角函数的导数，已经学过了，指数函数和对数函数，下几节课学.这节课我们来学习由基本初等函数复合而成的复合函数的导数.Ⅱ.讲授新课(一)复合函数的导数［师］我们来看几个函数.(由实物投影仪投影出来)用心爱心专心［师］这五个函数都是由一些一次函数、二次函数、三次函数和三角函数复合而成的.像这种形式的函数，即由几个函数复合而成的函数，就叫做复合函数，下面来求一下y′x，y′u，u′x和y′u·u′x，并且y′u·u′x用x表示.(给学生时间做题，做好了，让学生回答，说出答案，老师用笔，写在纸上，让投影仪投影出来，再让学生观察表格中的数据有什么关系.虚框内的是后来填上去的)［生］这几个函数y′x与yx′·u′x的值是相同的.［师］我们把u称为中间变量，那对于一般的复合函数是不是有相同的结论呢？要求y′x，只要求y′u与u′x的乘积，也就是说y′x=y′u·u′x，我们来证明一下下面的一个命题.［板书］1.设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且y′x=y′u·u′x或f′x((x))=f′(u)′(x).证明：设x有增量Δx，则对应的u，y分别有增量Δu，Δy，因为u=φ(x)在点x可导，所以u=(x)在点x处连续.因此当Δx→0时，Δu→0.(为了证明起来比较方便，而且不影响结论的情况下，我们只考虑)当Δu≠0时，由.且.∴即y′x=y′u·u′x.［师］所以对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.上述证明的命题就是复合函数的求导法则.2.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.(二)课本例题［例1］求y=(2x+1)5的导数(让学生设中间变量).解：设y=u5，u=2x+1∴y′x=y′u·u′x=(u5)′u·(2x+1)′x=5u4·2=5(2x+1)4·2=10(2x+1)4注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.［师］有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.用心爱心专心(三)精选例题［例1］求f(x)=sinx2的导数(让学生设中间变量)解：令y=f(x)=sinu;u=x2∴y′x=y′u·u′x=(sinu)′u·(x2)x′=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2∴f′(x)=2xcosx2［例5］求y=sin2(2x+)的导数.［分析...
