立体几何创新问题常见类型探求高考创新题，向来是高考试题中最为亮丽的风景线。这类问题着重考查观察发现，类比转化以及运用数学知识，分析和解决数学问题的能力。当然数立体几何创新题也是高考创新题重点考查的一种类型。下举例谈谈立体几何创新题的基本类型及求解策略。一、结论开放型例1如图1，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，Ｐ为中截面的中心，则△ＰＡＣ在该正方体各个面上的射影可能是____．（要求：把可能的图的序号填上）解析：△ＰＡＣ在正方体某一个面上的射影，应当是连结三个顶点Ｐ，Ａ，Ｃ在这个面上的射影而得的图象．由于Ａ，Ｃ在下底面上的射影是它们各自本身，Ｐ在下底面上的射影是ＡＣ中点，故△ＰＡＣ在下底面上的射影是下底面对角线ＡＣ，因此，图①是可能的，且△ＰＡＣ在上底面上的射影是上底面对角线Ａ1Ｃ1，也是图①的情形；而Ａ在侧面ＢＣ1上的射影是Ｂ，Ｃ在侧面ＢＣ1上的射影是它本身，Ｐ在侧面ＢＣ1上的射影是侧面ＢＣ1的中心，故图④也是可能的．同理可知，△ＰＡＣ在其他三个侧面上的射影也都是图④的情形，于是图②，③是不可能的．因此，所有可能的图形是①，④．评析：本题是一道多选题，涉及的数学概念并不多，侧重于考查数学语言向图形语言的转译，并根据这两种语言提供的信息展开空间想象，弃伪存真，它对于空间想象能力和思维判断能力有着较高的要求，是近几年高考题型改革较为成功的一种新颖题型之一．二、存在探索型例2、如图2，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a2,点E在PD上，且PE:ED=2:1.在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.解:以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为).0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(aaCaaBA).31,32,0(),,0,0(),0,,0(aaEaPaD所以).0,21,23(),31,32,0(aaACaaAE).,21,23(),,0,0(aaaPCaAP用心爱心专心A1B1C1D1ABCDP①②③④图1FxyzDPAEBC图2).,21,23(aaaBP设点F是棱PC上的点，,10),,21,23(其中aaaPCPF则BFBPPF(a,a,a)(aλ,aλ,aλ)(a(λ),a(λ),a(λ))313131111222222�令AEACBF21得a(λ)aλ,λλ,a(λ)aλaλ,λλλ,λ,λ,λ.a(λ)aλ.λλ.11121212223311221124113112233222111133即即21时，.2321AEACBF亦即，F是PC的中点时，BF、AC、AE共面.又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.评析：对于由给定结论，反溯应具备的条件的探索性问题，可执果索因，由给定的结论追溯应具备的条件。通过观察、试验、联想、演绎、归纳、类比、分析、综合等思维形式，寻找结论成立的条件.三、类比拓展型例3、如图，在任意DEF中有余弦定理：DFEEFDFEFDFDEcos2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱111CBAABC的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.解：在斜三棱柱111CBAABC中，有cos21111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS其中为平面BBCC11与平面AACC11所组成的二面角.,1PMNCC平面上述的二面角为MNP,在PMN中，cos2222MNPMNPNMNPNPMMNPCCMNCCPNCCMNCCPNCCPMcos)()(211111222222，由于111111111,,BBPMSCCMNSCCPNSAABBAACCBBCC，有cos21111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS评析：对于这类问题，可从命题的结构形式特征入手，再进行证明说理。可运用已知信息，通过延伸和推广，对某些真命题进行深化和拓展，从而得出新的结论．四、动点轨迹型例4、若三棱锥A－BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是（）用心爱心专心CPBCABPBCAPBCAAPBCADFDECABB1A1C1图3ABCDPOE图4解析：如图4，BCOPP，，BCDPO于面，当P与B点重合时，显然满足条件。要使PE，PO只须PBOPBE，只要适当移动PB的位置就有可能满足PBOPBE，从而知...
