立体几何创新问题常见类型探求高考创新题,向来是高考试题中最为亮丽的风景线。这类问题着重考查观察发现,类比转化以及运用数学知识,分析和解决数学问题的能力。当然数立体几何创新题也是高考创新题重点考查的一种类型。下举例谈谈立体几何创新题的基本类型及求解策略。一、结论开放型例1如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为中截面的中心,则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是____.(要求:把可能的图的序号填上)解析:△PAC在正方体某一个面上的射影,应当是连结三个顶点P,A,C在这个面上的射影而得的图象.由于A,C在下底面上的射影是它们各自本身,P在下底面上的射影是AC中点,故△PAC在下底面上的射影是下底面对角线AC,因此,图①是可能的,且△PAC在上底面上的射影是上底面对角线A1C1,也是图①的情形;而A在侧面BC1上的射影是B,C在侧面BC1上的射影是它本身,P在侧面BC1上的射影是侧面BC1的中心,故图④也是可能的.同理可知,△PAC在其他三个侧面上的射影也都是图④的情形,于是图②,③是不可能的.因此,所有可能的图形是①,④.评析:本题是一道多选题,涉及的数学概念并不多,侧重于考查数学语言向图形语言的转译,并根据这两种语言提供的信息展开空间想象,弃伪存真,它对于空间想象能力和思维判断能力有着较高的要求,是近几年高考题型改革较为成功的一种新颖题型之一.二、存在探索型例2、如图2,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,∠ABC=600,PA=AC=a,PB=PD=a2,点E在PD上,且PE:ED=2:1.在棱PC上是否存在一点F,使BF//平面AEC?证明你的结论.解:以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴,过A点垂直平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为).0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(aaCaaBA).31,32,0(),,0,0(),0,,0(aaEaPaD所以).0,21,23(),31,32,0(aaACaaAE).,21,23(),,0,0(aaaPCaAP用心爱心专心A1B1C1D1ABCDP①②③④图1FxyzDPAEBC图2).,21,23(aaaBP设点F是棱PC上的点,,10),,21,23(其中aaaPCPF则BFBPPF(a,a,a)(aλ,aλ,aλ)(a(λ),a(λ),a(λ))313131111222222�令AEACBF21得a(λ)aλ,λλ,a(λ)aλaλ,λλλ,λ,λ,λ.a(λ)aλ.λλ.11121212223311221124113112233222111133即即21时,.2321AEACBF亦即,F是PC的中点时,BF、AC、AE共面.又BF平面AEC,所以当F是棱PC的中点时,BF//平面AEC.评析:对于由给定结论,反溯应具备的条件的探索性问题,可执果索因,由给定的结论追溯应具备的条件。通过观察、试验、联想、演绎、归纳、类比、分析、综合等思维形式,寻找结论成立的条件.三、类比拓展型例3、如图,在任意DEF中有余弦定理:DFEEFDFEFDFDEcos2222.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱111CBAABC的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.解:在斜三棱柱111CBAABC中,有cos21111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS其中为平面BBCC11与平面AACC11所组成的二面角.,1PMNCC平面上述的二面角为MNP,在PMN中,cos2222MNPMNPNMNPNPMMNPCCMNCCPNCCMNCCPNCCPMcos)()(211111222222,由于111111111,,BBPMSCCMNSCCPNSAABBAACCBBCC,有cos21111111111222AACCBBCCAACCBBCCAABBSSSSS评析:对于这类问题,可从命题的结构形式特征入手,再进行证明说理。可运用已知信息,通过延伸和推广,对某些真命题进行深化和拓展,从而得出新的结论.四、动点轨迹型例4、若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是()用心爱心专心CPBCABPBCAPBCAAPBCADFDECABB1A1C1图3ABCDPOE图4解析:如图4,BCOPP,,BCDPO于面,当P与B点重合时,显然满足条件。要使PE,PO只须PBOPBE,只要适当移动PB的位置就有可能满足PBOPBE,从而知...