专题限时集训(三)等差数列、等比数列[专题通关练](建议用时：30分钟)1．(2019·青岛模拟)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d＝()A．1B．2C．3D.B[在等差数列{an}中，S3＝＝＝12，解得a1＝2，又a3＝a1＋2d＝2＋2d＝6，解得d＝2.故选B.]2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为()A．3B．－3C．－D.D[设数列{an}的公比为q，由a2·a6＝9a4，得a2·a2q4＝9a2q2，解得q2＝9，所以q＝3或q＝－3(舍)，所以a1＝＝.故选D.]3．(2019·长沙模拟)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，bn＝log2an，则数列{bn}的前10项和等于()A．130B．120C．55D．50C[由a1＝2，an＋1－2an＝0可知，{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，故bn＝log2an＝n，故数列{bn}的前10项和为S10＝＝55.]4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9A[由a4＋a6＝2a5＝－6得a5＝－3，则公差为＝2，所以由an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13≤0得n≤，所以前6项和最小，故选A.]5．(2019·郑州模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，＝Sn，则S10＝()A.B．－C．10D．－10B[由＝Sn，得an＋1＝SnSn＋1.又an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，即－＝－1，所以数列是以＝＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，所以＝－10，所以S10＝－，故选B.]6．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.[设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1. a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，∴S4＝＝.]7．(2019·自贡模拟)若等比数列{an}满足an＞0(n∈N*)，公比q＝2，且a1·a2·…·a30＝230，则a1·a4·a7·…·a25·a28＝________.1[因为230＝a1·a2·…·a30＝a1·a1q·a1q2·a4·a4q·a4q2·…·a25·a25q·a25q2·a28·a28q·a28q2＝(a1·a4·…·a25·a28)3q30，又q＝2，所以a1·a4·a7·…·a25·a28＝1.]8．已知等差数列{an}的前9项和等于它的前4项和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.10[设等差数列{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1，得9×1＋d＝4×1＋d，所以d＝－.又ak＋a4＝0，所以[1＋(k－1)×]＋[1＋(4－1)×]＝0，解得k＝10.][能力提升练](建议用时：15分钟)9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.升B.升C.升D.升A[自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.故选A.]10．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝3，an＋1－an＝＝3，n∈N*.若数列{cn}满足cn＝ban，则c2018＝()A．92017B．272017C．92018D．272018D[由已知条件知{an}是首项为3，公差为3的等差数列．数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，∴an＝3n，bn＝3n.又cn＝ban＝33n，∴c2018＝33×2018＝272018，故选D.]11．设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.[解](1)设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.又a1＝ln2，所以d＝ln2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln2.(2)因为ea1＝eln2＝2，＝ean-an－1＝eln2＝2(n≥2)，所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．所以ean＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)．12．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.[解](1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，则an＋1＝3an(n≥2)．又a2＝2S1＋1＝3，a1＝1，所以a2＝3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.(n∈N*)．(2)设{bn}的公差为d.由T3＝15，即b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，故b1＝5－...
