【高考领航】2016届高考数学二轮复习限时训练17点、直线、平面间的位置关系理(建议用时45分钟)1．(2016·郑州市高中模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC＝90°，AD＝2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．(1)证明：PA∥平面BMQ；(2)已知PD＝DC＝AD＝2，求点P到平面BMQ的距离．解析：(1)证明：连接AC交BQ于N，连接MN，因为∠ADC＝90°，BC＝AD，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．又M为PC的中点，即PM＝MC，则MN为△PAC的中位线，故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，PA⊄平面BMQ，所以PA∥平面BMQ.(2)解：由(1)可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以VPBMQ＝VABMQ＝VMABQ，取CD的中点K，连接MK，所以MK∥PD，MK＝PD＝1，又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD.又BC＝AD＝1，PD＝CD＝2，所以AQ＝1，BQ＝2，MQ＝，NQ＝1，所以VPBMQ＝VABMQ＝VMABQ＝··AQ·BQ·MK＝.S△BMQ＝，则点P到平面BMQ的距离d＝＝.2．(2016·南昌市高三模拟)四棱锥PABCD的底面是平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB＝AB＝AD＝1，∠BAD＝60°，E，F分别为AD，PC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)求三棱锥PABD的体积VPABD.解析：(1)证明：取PB的中点G，连接AG，FG，又F为PC的中点，∴GF是△PBC的中位线，即GF綊BC，又四边形ABCD是平行四边形，E为AD中点，∴AE綊BC，GF綊AE，即四边形AEFG是平行四边形，∴EF∥AG，又AG⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)解：在平面PAB中，过P作PH⊥AB，垂足为H.∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PH⊂平面PAB，PH⊥AB.∴PH⊥平面ABCD，∴PH是三棱锥PABD的高．∵在等边三角形PAB中，PA＝PB＝AB＝1，∴PH＝.∵在△ABD中，AB＝1，AD＝2，∠BAD＝60°，∴S△ABD＝×2×1×sin60°＝，∴VPABD＝S△ABD·PH＝××＝.3．(2016·昆明三中、玉溪一中统考)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AD＝EF＝AF＝1，AB＝2.(1)求证：平面AFC⊥平面CBF.(2)在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF？并说明理由．证明：(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，且BC∩BF＝B，∴AF⊥平面CBF.∵AF⊂平面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF.(2)取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN，则MN綊CD，又AO綊CD，则MN綊AO，∴四边形MNAO为平行四边形，∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF.4.(2016·石家庄模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AP＝AD＝AB＝，BC＝t，∠PAB＝∠PAD＝α.(1)当t＝3时，试在棱PA上确定一点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；(2)当α＝60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．解：(1)解法一连接AC，BD交于点F，在平面PCA中作EF∥PC交PA于E，连接DE，BE.因为PC⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE.因为AD∥BC，所以＝＝，因为EF∥PC，所以＝＝.解法二在棱PA上取一点E，使得＝，连接AC，BD交于点F，因为AD∥BC，所以＝＝，所以＝，所以EF∥PC，所以PC⊄平面BDE，EF⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE.(2)取BC上一点G使得BG＝，连接DG，则四边形ABGD为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连接OA，OB，OD，OG.因为AP＝AD＝AB，∠PAB＝∠PAD＝60°，所以△PAB和△PAD都是等边三角形，因此PA＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABGD对角线的交点，所以OG，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，分别以OG，OB，OP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，P(0,0,1)，A(－1,0,0)，B(0,1,0)，D(0，－1,0)，G(1,0,0)，C，故PA＝(－1,0，－1)，PB＝(0,1，－1)，PC＝，PD＝(0，－1，－1)．设平面PAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则，即，不妨令x1＝－1，可得m＝(－1,1,1)为平面PAB的一个法向量．设平面PCD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则，即，不妨令y2＝1，可得n＝为平面PCD的一个法向量．由m·n＝0.解得t＝2，∴BC＝2.
