14函数函数与方程【考点讲解】一、具本目标：了解函数的零点与方程根的个数问题，函数的图象与x轴交点的横坐标之间的关系；掌握二分法求方程的近似解；在高中本节主要是研究函数零点个数以及判断函数零点的范围.考纲要求及重点：1.判断函数零点所在的区间；2.二分法求相应方程的近似解；3.备考重点：函数的零点与方程根的分布问题、函数的性质等相结合求解参数问题，更出现了和导数融合的综合性问题.4.函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．二、知识概述：1.函数的零点：(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.2.零点存在性定理：如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间（a，b）内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.3.“二分法”的基本内涵是：把函数f(x)的零点所在的区间[a，b]（满足f(a)·f(b)＜0）“一分为二”：[a，m]、[m，b]，根据“f(a)·f(m)＜0”是否成立，取出新的零点所在的区间仍记为[a，b]；将所得的区间[a，b]重复上述的步骤，直到含零点的区间[a，b]“足够小”，使这个区间内的数作为方程的近似解满足给定的精确度d(即)．4.利用函数处理方程解的问题，方法如下：(1)方程f(x)＝a在区间I上有解⇔a∈{y|y＝f(x)，x∈I}⇔y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有交点．(2)方程f(x)＝a在区间I上有几个解⇔y＝f(x)与y＝a的图象在区间I上有几个交点．一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答．5.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【真题分析】1.【2018年理新课标I卷】已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（）A.[–1，0）B.[0，+∞）C.[–1，+∞）D.[1，+∞），之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.A【答案】C2.【2018年浙江卷】已知λ∈R，函数，当时，不等式的解集是___________．若函数恰有2个零点，则的取值范围是___________．【解析】本题考点是不等式组的求解以及分段函数的零点问题.由题意可得：或解得，所以不等式的解集为.当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.【答案】，3．【2018年理数天津卷】已知，函数，若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.当时，方程，也就是，整理可得，很明显可知不是方程的实数解，有，设，其中，，原问题等价于函数与函数有两个不同的的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.【答案】法二：当时，方程，也就是，整理可得，很明显可知不是方程的实数解，有.设，则，由可得，函数递增，可得，函数递减，所以当时，取得极小值为.当时，方程，也就是，整理可得，很明显可知不是方程的实数解，有，设，则，由可得，函数递增，可得，函数递减，所以当时，取得极小值为.要使恰有2个互异的实数解，结合图象则的取值范围是.【答案】4．【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–35.【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________．【解析】本题主要考查三角函数的性质和...
