排列组合问题的化归求解策略李伟数学解题的过程实际上就是对问题的一个不断化归的过程。化归是一种十分重要的思想方法，是解题中很重要的一个环节，它反映了认识过程的基本规律，在认知过程中，人们总习惯于把陌生问题化归为熟悉问题，把复杂问题化归为简单问题，把困难问题化归为容易问题来处理。因此，化归是进行数学解题的一种重要手段，现以排列组合问题为例，来具体分析化归的三种基本方向。一、陌生问题化归为熟悉问题例1把10个相同的小球分到3个不同的盒子中，共有多少种不同的分法？熟悉问题：把10个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少1个球，共有多少种不同的方法？由隔板法可知（种）。化归思路：如果在每个盒子内预先放入“”个小球，接着将剩下的“10―（―3）＝13”个小球放到3个不同的盒子内，问题就化归成把13个相同的小球分到3个不同的盒子中，每个盒子至少1个小球，共有多少种不同的分法？由隔板法可知分法种数为（种）。二、复杂问题化归为简单问题例2从6名运动员中选出4人参加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？此问题错综复杂，既有不同的运动员，又有对运动员的限制，中间还有多种重复情形出现，一下子很难解决。解法1：化归思路：把上述问题通过分类的思想化归为4个简单问题，对选出的4个参赛运动员进行如下分类。①无甲，无乙，则参赛方法为（种）；②有甲，无乙，则参赛方法为（种）；③有乙，无甲，则参赛方法为（种）；④有甲，有乙，则参赛方法为（种）；综上可得，不同的参赛方法种数为（种）。解法2：化归思路：利用集合的思想及正繁则反的原则，把上述问题化归为“参赛总方法数减去限制条件的方法数”这个简单问题。设全集I={6人中任取4人的排列}，A={甲不跑第一棒的排列}，B={乙不跑第四棒的排列}，A，B有公共部分，根据集合元素个数公式可知方法种数：种。三、困难问题化归为容易问题例3从正方体的8个顶点中任取3个顶点作三角形，共有多少个直角三角形？如果以点为对象来考虑直角三角形的个数，非常容易重复或遗漏，容易知道一个矩形有用心爱心专心115号编辑个直角三角形，故将化归为以下容易问题：一个正方体的8个顶点能构成多少个不同的矩形？化归思路一个正方体的四个顶点只要共面，就构成了矩形，故可构成12个矩形（6个表面，6个对角面），每个矩形有个直角三角形，故直角三角形共有（个）。练一练将正整数n表示成κ个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n分成k个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分中的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n划分成k个部分的不同划分的个数记为，则_______。参考答案：用心爱心专心115号编辑
