课时素养评价二十二函数奇偶性的概念(15分钟35分)1.函数f(x)=-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称【解析】选C.函数f(x)=-x是奇函数,其图象关于坐标原点对称.【补偿训练】函数f(x)=的图象关于()A.x轴对称B.原点对称C.y轴对称D.直线y=x对称【解析】选B.由题意知f(x)=的定义域为[-,0)∪(0,],所以定义域关于原点对称,又因为f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数,其图象关于原点对称.2.若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数,则必有()A.f(x)f(-x)>0B.f(x)f(-x)<0C.f(x)f(-x)【解析】选B.因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f(x)≠0,所以f(x)f(-x)=-[f(x)]2<0.3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于()A.-26B.-18C.-10D.10【解析】选A.令g(x)=x5+ax3+bx,则g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.又因为f(x)=g(x)-8,所以f(-2)=g(-2)-8=10g(-2)=18.⇒所以g(2)=-18.所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.4.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=()A.3B.1C.-1D.-3【解析】选D.因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.【补偿训练】已知函数f(x)=ax3+bx++5,满足f(-3)=2,则f(3)的值为.【解析】因为f(x)=ax3+bx++5,所以f(-x)=-ax3-bx-+5,即f(x)+f(-x)=10.所以f(-3)+f(3)=10,又f(-3)=2,所以f(3)=8.答案:85.(2020·江苏高考)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=,则f(-8)的值是.【解析】y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=,则f(-8)=-f(8)=-=-4.答案:-46.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=3,x∈R;(2)f(x)=5x4-4x2+7,x∈[-3,3];(3)f(x)=【解析】(1)因为f(-x)=3=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2)因为x∈[-3,3],f(-x)=5(-x)4-4(-x)2+7=5x4-4x2+7=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(3)当x>0时,f(x)=1-x2,此时-x<0,所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1,所以f(-x)=-f(x);当x<0时,f(x)=x2-1,此时-x>0,f(-x)=1-(-x)2=1-x2,所以f(-x)=-f(x);当x=0时,f(0)=0.综上,对x∈R,总有f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为R上的奇函数.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共15分)1.给出下列函数:①f(x)=x3+,②f(x)=,③f(x)=x3+1,④f(x)=,其中是奇函数的有()A.①③B.①④C.③④D.②④【解析】选B.②中函数的定义域为(0,+∞),故为非奇非偶函数,③也是非奇非偶函数.2.若f(x)=(ax+1)(x-a)为偶函数,且函数y=f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,则实数a的值为()A.±1B.-1C.1D.0【解析】选C.因为f(x)=(ax+1)(x-a)=ax2+(1-a2)x-a为偶函数,所以1-a2=0.所以a=±1.当a=1时,f(x)=x2-1,在(0,+∞)上单调递增,满足条件;当a=-1时,f(x)=-x2+1,在(0,+∞)上单调递减,不满足.3.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.-3B.-1C.1D.3【解析】选C.因为f(x)-g(x)=x3+x2+1,所以f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,又由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),所以f(x)+g(x)=-x3+x2+1,则f(1)+g(1)=1.【误区警示】分清f(x),g(x)的奇偶性,解决此类问题时,很多学生常混淆f(x),g(x)的奇偶性,导致解题错误或不会解答该题.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.下列判断中哪些是不正确的()A.f(x)=(x-1)是偶函数B.f(x)=是奇函数C.f(x)=+是偶函数D.f(x)=是非奇非偶函数【解析】选AD.A.f(x)的定义域为[-1,1),定义域不关于原点对称,所以f(x)不是偶函数,所以该判断错误;B.设x>0,-x<0,则f(-x)=x2-x=-(-x2+x)=-f(x),当x<0时,-x>0,f(-x)=-x2-x=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以该判断正确;C.解x2-3=0得,x=±,所以f(x)的定义域关于原点对称,且f(x)=0,所以f(x)是偶函数,所以该判断正确;D.解得,-1≤x<0或00时,f(x)=x2+mx+1,若f(2)=3f(-1),则m=.【解析】因为x>0时,f(x)=x2+mx+1,所以f(2)=5+2m,f(1)=2+m,又f(-1)=-f(1)=-2-m,所以5+2m=3(-2-m),所以m=-.答案:-6.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)=,f(0)=.【解析】由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0.答案:-50四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=是奇函数,且f(2)=.求实数m和n的值.【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-=.比较得n=-n,则n=0.又因为f(2)=,所以=,解得m=2,故实数m和n的值分别是2和0.
