高中数学一道常规题的多角度思考学法指导VIP免费

高中数学一道常规题的多角度思考李凤华孙月文题已知xyR、满足491xy，则xy有A.最小值12B.最大值12C.最小值144D.最大值144解法1（直接利用基本不等式及不等式的性质）因为xyR，，所以49xyR，，所以14924912xyxyxy·，所以xy12，所以xy144，所以选C。解法2（三角换元）因为xyRxy，且491，所以可令x42cos，则y92sin，所以xy361421442sin，故选C。解法3（适当替换，构造不等式）因为xyR，，且491xy，所以xyxyyxyxxy()494924912·，所以xyxy12144，，所以选C。解法4（转化为关于x的函数）由491xy得yxx94，又xyR，，所以x4。所以xyxxxxx·949444222()941649416489241648916144[()][()][()]xxxxxx·即xy144。所以选C。解法5（判别式法）由解法4解题过程知xyxx942，令txy，则9402xtxt，因为这个关于x的一元二次方程有根，且t0，所以tt24940··，所以t144，即xy144，所以选C。解法6（几何法）对照直线的截距式方程xayb1，知491xy表示过定点P（4，9），在x轴、y轴上截距分别为x，y直线，它与x轴，y轴交点分别为A（x，0），B（0，y），如图，自P作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R，则|PR|＝|OQ|＝4，|PQ|＝|OR|＝9。设∠BAO＝，则∠，，BPR()02，所以xOQQA||||cot49，yORRB||||tan94，用心爱心专心所以xy(cot)(tan)cottan49943681163672281167272144cottan·，即xy144，所以选C。解法7（据选择题的特点，可采用筛选法求解）由解法六中揭示的x，y的几何意义知xySSAOBOQPR236△矩形，故排除选择支A、B，又当A点从Q右侧无限趋近Q时，xyxy4，，无最大值。所以xy144。选C。以上解法综合了不等式、三角、函数与方程、平面解析几何、极限等多种知识，利用换元、化归与转化、替换、构造、数列结合等多种数学思想方法，从不同的角度思考问题，解决问题，极大地鼓舞学生，促进思维的灵活发展。用心爱心专心