第2讲用导数研究函数的单调性与极值一、填空题1．已知f(x)＝x＋cosx(x∈R)，则不等式f(ex－1)>f(0)的解集为________．解析f(x)＝x＋cosx，f′(x)＝1－sinx≥0，∴f(x)(x∈R)是增函数．若f(ex－1)>f(0)，则ex－1>0，ex>1，即x>0.∴解集为(0，＋∞)．答案(0，＋∞)2．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.由f′(x)＞0得x＜0或x＞2，由f′(x)＜0得0＜x＜2，所以f(x)在x＝2处取得极小值．答案23．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由题意知f′(x)＝0有两个不等的实根，由Δ＝(6a)2－4×3×3(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)4．已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2＋2)＜f(3x)，则实数x的取值范围是________．解析由f(x)＝lnx＋2x，得f′(x)＝＋2xln2＞0，x∈(0，＋∞)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x2＋2)＜f(3x)，得0＜x2＋2＜3x，所以x∈(1,2)．答案(1,2)5．已知函数f(x)＝－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在实数集R上是增函数，则实数m的取值范围是________．解析f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，依题意，知f′(x)≥0在R上恒成立，所以Δ＝4(m2－6m＋8)≤0得2≤m≤4.答案[2,4]6．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是________．解析设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，当x＝－1时，ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1，x2，则x1x2＝＝1，④中图象一定不满足该条件．答案④7．已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，导函数为f′(x)＝x2＋2cosx且f(0)＝0，则满足f(1＋x)＋f(x2－x)＞0的实数x的集合是________．解析因为当x∈(－2,2)时，f′(x)≥0且为偶函数，所以f(x)是奇函数且在(－2,2)上单调递增，于是由f(1＋x)＞－f(x2－x)＝f(x－x2)，得－2＜x－x2＜1＋x＜2，解得－1＜x＜1.答案(－1,1)8．已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是________．答案[－2，－1]9．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________．答案[4，＋∞)10．设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)＋xf′(x)>0，则不等式f()>·f()的解集为________．解析设F(x)＝xf(x)，则由F′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，可得函数F(x)是R上的增函数．又>0，所以由f()>f()可变形得f()>f()，即F()>F()，所以解得1≤x<2.答案[1,2)二、解答题11．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞2x的解集为(－1,3)．(1)若函数g(x)＝xf(x)在区间内单调递减，求a的取值范围；(2)当a＝－1时，证明方程f(x)＝2x3－1仅有一个实数根．(3)当x∈[0,1]时，试讨论|f(x)＋(2a－1)x＋3a＋1|≤3成立的充要条件．解(1) f(x)－2x>0的解集为(－1,3)，∴可设f(x)－2x＝a(x＋1)(x－3)，且a<0，因而f(x)＝a(x＋1)(x－3)＋2x＝ax2＋2(1－a)x－3a①g(x)＝xf(x)＝ax3＋2(1－a)x2－3ax， g(x)在区间内单调递减，∴g′(x)＝3ax2＋4(1－a)x－3a在上的函数值非正，由于a<0，对称轴x＝>0，故只需g′＝＋a·(1－a)－3a≤0，注意到a<0，∴a2＋4(1－a)－9≥0，得a≤－1或a≥5(舍去)．故所求a的取值范围是(－∞，－1]．(2)证明：a＝－1时，方程f(x)＝2x3－1仅有一个实数根，即证方程2x3＋x2－4x－4＝0仅有一个实数根．令h(x)＝2x3＋x2－4x－4，由h′(x)＝6x2＋2x－4＝0，得x1＝－1，x2＝，易知h(x)在(－∞，－1)，上递增，在上递减，h(x)的极大值h(－1)＝－1<0，故函数h(x)的图象与x轴仅有一个交点，∴a＝－1时，方程f(x)＝2x3－1仅有一个实数根，得证．(3)设r(x)＝f(x)＋(2a－1)x＋3a＋1＝ax2＋x＋1，r(0)＝1，对称轴为x＝－，由题意，得或解出－5≤a＜0，故使|f(x)＋(2a－1)x＋3a＋1|≤3成立的充要条件是－5≤a＜0.12．已知曲线f(x)＝ln(2－x)＋ax在点(0，f(0)...
