第1讲等差数列与等比数列A级基础通关一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝n2－2n解析：设首项为a1，公差为d.由S4＝0，a5＝5可得解得所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.答案：A2．(2019·长郡中学联考)已知数列{an}满足，an＋1＋2an＝0，且a2＝2，则{an}前10项的和等于()A.B．－C．210－1D．1－210解析：由题意得，an＋1＋2an＝0，则＝－2，即数列是公比为－2的等比数列，又a2＝2，所以a1＝－1，所以{an}前10项的和等于S10＝＝－.答案：B3．已知等比数列{an}的首项为1，公比q≠－1，且a5＋a4＝3(a3＋a2)，则等于()A．－9B．9C．－81D．81解析：根据题意可知＝q2＝3，则＝＝a5＝a1·q4＝1×32＝9.答案：B4．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12解析：设等差数列{an}的公差为d，因为3S3＝S2＋S4，所以3＝2a1＋×d＋4a1＋d，解得d＝－a1，因为a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.答案：B5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，S3＝9，且a2－1，a3－1，a5－1构成等比数列，则S5＝()A．15B．－15C．30D．25解析：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由S3＝3a2＝9，得a2＝3.又a2－1，a3－1，a5－1成等比数列，所以(a3－1)2＝(a2－1)(a5－1)，则(2＋d)2＝2(2＋3d)，所以d＝2，则a3＝a2＋d＝5，故S5＝5a3＝25.答案：D二、填空题6．(2019·北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．解析：因为a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，所以a1＝－4，d＝1，所以a5＝a1＋4d＝0，所以an＝a1＋(n－1)d＝n－5.令an＜0，则n＜5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正，所以Sn的最小值为S4＝S5＝－10.答案：0－107．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则此人第4天走的里程是________里．解析：由题意，每天走的路程构成公比为的等比数列．设等比数列的首项为a1，则＝378，所以a1＝192.因此a4＝192×＝24.答案：248．(2019·雅礼中学调研)若数列{an}的首项a1＝2，且an＋1＝3an＋2(n∈N*)．令bn＝log3(an＋1)，则b1＋b2＋b3＋…＋b100＝________．解析：由an＋1＝3an＋2(n∈N*)可知an＋1＋1＝3(an＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1＝3n，an＝3n－1.所以bn＝log3(an＋1)＝n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b100＝＝5050.答案：5050三、解答题9．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．解：(1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.由a1＞0知d＜0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．10．已知数列{an}是等比数列，并且a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝a2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，证明：Sn＜.(1)解：设等比数列{an}的公比为q，因为a1，a2＋1，a3是公差为－3的等差数列，所以即解得所以an＝a1qn－1＝8×＝24－n.(2)证明：因为＝＝，所以数列{bn}是以b1＝a2＝4为首项，为公比的等比数列．所以Sn＝＝·＜.B级能力提升11．(2019·广州调研)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则(n∈N*)的最小值为()A．4B．3C．2－2D.解析：依题意a＝a1a13，即(1＋2d)2＝1＋12d，解得d＝2.因此an＝2n－1，Sn＝n2.则＝＝＝＝(n＋1)＋－2≥2－2＝4，当且仅当n＝2时取得最小值4.答案：A12．...
