立体几何中的折叠与展开问题湖南周友良刘飞凤一、折叠与展开中的垂直问题例1.将矩形ABCD沿对角线BD折起来，使点C的新位置在面ABC上的射影E恰在AB上．求证：分析：欲证，只须证与所在平面垂直；而要证⊥平面，只须证⊥且⊥AD．因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了．证明：由题意，⊥，又斜线在平面ABCD上的射影是BA， BA⊥AD，由三垂线定理，得，．∴⊥平面，而平面∴⊥例2.如图在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解： FG∥BC，AD⊥BC∴A'E⊥FG∴A'E⊥BC设A'E=a，则ED=2a由余弦定理得：A'D2=A'E2+ED2-2•A'E•EDcos60°=3a2∴ED2=A'D2+A'E2∴A'D⊥A'E∴A'E⊥平面A'BC例3.如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE将△ABD和△ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD⊥平面ABE.解析：过D作DF⊥AB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE＝；二、折叠与展开中的空间角问题例4.矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—C的大小。这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AEBD⊥交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上,所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5，OA′=OE=BO·tgcCBD∠，而BO=AB2/BD=9/5,tgCBD∠，故OA′=27/20。在RtAA′O△中，∠AA′O=90°所以cosAOA′=A′O/AO=9/16∠，tyAOA′=arccos9/16∠即所求的二面arccos9/16。例5.在矩形ABCD中，AB=a，AD=2b，a
