4.7三角恒等变换一、填空题1．sin415°－cos415°等于________．解析sin415°－cos415°＝(sin215°＋cos215°)(sin215°－cos215°)＝－cos30°＝－.答案－2．计算sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为________．解析原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝.答案3．cos20°cos40°cos60°cos80°＝________.解析∵sin2α＝2sinαcosα，∴cosα＝，∴原式＝···＝＝.答案4.已知sin),tan(则tan.解析∵sin),∴cos则tan.又tan(可得tantan.tan.答案5．函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．解析由f(x)＝sin－2sin2x＝sin2x－cos2x－2×＝sin2x＋cos2x－＝sin－，故最小正周期为π.答案π6．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，则cos2β的值为________．解析由已知得：cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.答案－17．已知sinα－cosα＝sinαcosα，则sin2α的值为________．解析将sinα－cosα＝sinαcosα平方得：1－2sinαcosα＝(sinαcosα)2即sin22α＋sin2α－1＝0解得：sin2α＝2－2.答案2－28．若锐角α、β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝________.解析∵(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，∴1＋(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，即tanα＋tanβ＝(1－tanαtanβ)，∴tan(α＋β)＝＝＝.又∵0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.答案9.已知cos则sincos的值为________．解析sincossincossincossincos.答案10．在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为________．解析由sin2A＋cos2B＝1，得sin2A＝sin2B，∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A＝－2cos2A＋2cosA＋1.又0＜A＜，0＜cosA＜1.∴cosA＝时，有最大值.答案11．已知sinθ－cosθ＝－，且0≤θ≤，则cos2θ＝________.解析∵sinθ－cosθ＝－，∴(sinθ－cosθ)2＝，∴sin2θ＝，又∵0≤θ≤，∴0≤2θ≤，∴cos2θ＝＝＝.答案12．若α∈，化简＝________.答案sin13．使方程2－sin2x＝m(2＋sin2x)有解的m的取值范围是________．解析由已知2－sin2x＝m(2＋sin2x)得m＝＝－1＋.∵sin2x∈[－1,1]，∴2＋sin2x∈[1,3]，∴∈，∴－1＋∈，∴m∈.答案二、解答题14．化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos2α·cos2β.解析原式＝＋－cos2αcos2β＝－cos2αcos2β＝＋cos2αcos2β－cos2αcos2β＝.15.设函数f(x)=3sin且以为最小正周期.(1)求f(0);(2)求f(x)的解析式;(3)已知求sin的值.解析(1)由题设可知f(0)=3sin.(2)∵f(x)的最小正周期为∴.∴f(x)=3sin.(3)由sincos∴cos.∴sin.16．已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若x∈，求f(x)的最大值、最小值．解析(1)因为f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x＝cos2x－sin2x＝cos.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π.当2x＋＝时，cos取得最大值；当2x＋＝π时，cos取得最小值－1.所以f(x)在上的最大值为1，最小值为－.17．已知函数f(x)＝2asinxcosx＋2bcos2x，且f(0)＝8，f＝12.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值．解析(1)f(x)＝asin2x＋bcos2x＋b.由f(0)＝8，f＝12可得a＝4，b＝4；(2)f(x)＝4sin2x＋4cos2x＋4＝8sin＋4.所以当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋，k∈Z时，函数f(x)取最大值为12.18．已知α，β∈，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．(1)求证：tanβ＝；(2)将tanβ表示成tanα的函数关系式；(3)求tanβ的最大值，并求当tanβ取得最大值时tan(α＋β)的值．解析(1)证明由sinβ＝sinαcos(α＋β)＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，∴(1＋sin2α)sinβ＝sinαcosαcosβ∴tanβ＝.(2)tanβ＝＝＝.(3)tanβ＝＝，∵α∈，∴＋2tanα≥2.∴tanβ≤＝，当且仅当＝2tanα时取“＝”号，∴tanα＝，此时tanβ取最大值，且tan(α＋β)＝＝.
