【成才之路】-学年高中数学3.1.3两角和与差的正切基础巩固新人教B版必修4一、选择题1．若tan(－α)＝3，则cotα等于()A．－2B．－C．D．2[答案]A[解析]∵tan(－α)＝＝3，∴tanα＝－，∴cotα＝－2.2．设tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3[答案]A[解析]由已知，得tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，∴tan(α＋β)＝＝＝－3.3．已知＝，则cot的值等于()A．－B．C．－D．[答案]B[解析]由已知得：tan＝，∴cot＝tan＝.4．tan20°＋tan40°＋tan20°·tan40°的值为()A．－B．C．3D．[答案]B[解析]原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋tan20°.tan40°＝tan60°＝.5．已知tanα＝，tanβ＝－2，则cot(α－β)的值为()A．B．－C．1D．－1[答案]A[解析]cot(α－β)＝＝＝.故选A.6．已知α＋β＝，则(1－tanα)(1－tanβ)的值等于()A．2B．－2C．1D．－1[答案]A[解析]∵tan(α＋β)＝＝－1，∴tanα＋tanβ＝tanα·tanβ－1，∴原式＝1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2.二、填空题7．若sinα＝，tan(α＋β)＝1，α为第二象限角，则tanβ＝________.[答案]－7[解析]∵sinα＝，α为第二象限角，∴cosα＝－，tanα＝－，tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝－7.8．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.[答案][解析]tan＝tan＝＝.三、解答题9．求的值．[解析]原式＝＝＝.一、选择题1．已知α∈，sinα＝，则tan等于()A．B．7C．－D．－7[答案]A[解析]由于α∈，sinα＝，∴cosα＝－，tanα＝＝－.∴tan＝＝＝，故选A.2．的值是()A．B．C．－D．－[答案]A[解析]原式＝＝－＝－＝－＝.3．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为()A．16B．8C．4D．2[答案]C[解析](1＋tan21°)(1＋tan24°)＝1＋tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan21°tan24°)＋tan21°tan24°＝1＋1－tan21°tan24°＋tan21°tan24°＝2，同理(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，故原式＝4.4．已知tanα、tanβ是方程x2＋x＋2＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则α＋β的是()A．－B．－C．或－D．－或[答案]B[解析]由韦达定理得，∴tanα<0，tanβ<0，∴α∈(－，0)，β∈(－，0)，∴α＋β∈.又tan(α＋β)＝－，∴α＋β＝－.二、填空题5．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．[答案][解析]tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.6．化简＝________.[答案]tan42°[解析]原式＝＝tan(60°－18°)＝tan42°.三、解答题7．求证tan(α＋β)－tan(α－β)－tan2β＝tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β.[解析]∵tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝，∴tan2β[1＋tan(α＋β)·tan(α－β)]＝tan(α＋β)－tan(α－β)，∴tan2β＋tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β＝tan(α＋β)－tan(α－β)，∴tan(α＋β)－tan(α－β)－tan2β＝tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β.8．已知tanA与tan(－A＋)是方程x2＋px＋q＝0的根，且3tanA＝2tan(－A)，求p与q的值．[解析]设t＝tanA，则tan(－A)＝＝，∴3tanA＝2tan(－A)，∴3t＝，解得t＝或t＝－2.当t＝时，有tan(－A)＝＝＝，∴p＝－[tanA＋tan(－A)]＝－(＋)＝－，q＝tanAtan(－A)＝×＝.当t＝－2时，有tan(－A)＝＝－3，∴p＝－[tanA＋tan(－A)]＝－[(－2)＋(－3)]＝5，q＝tanAtan(－A)＝(－2)×(－3)＝6.综上可知，p＝－，q＝或p＝5，q＝6.9．在锐角△ABC中，(1)求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；(2)化简：tantan＋tantan＋tantan.[解析](1)∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC.∴tanA＋tanB＋tanC＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanC＝－tanC(1－tanAtanB)＋tanC＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC＝tanAtanBtanC.(2)∵A＋B＋C＝π，∴＝－，∵tan＝tan(－)＝cot.∴原式＝tan(tan＋tan)＋tan·tan＝tantan(1－tantan)＋tan·tan＝tantan(－)(1－tantan)＋tantan＝tancot(1－tantan)＋tantan＝1－tantan＋tantan＝1.
