3.2.2空间线面关系的判定(二)——垂直关系的判定一、基础过关1．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝___.2．已知a＝(1,1,0)，b＝(1,1,1)，若b＝b1＋b2，且b1∥a，b2⊥a，则b1，b2分别为________________．3．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1,y，－3)，且BP⊥平面ABC，则BP＝______________.4．下列命题中，正确的命题是________(填序号)．①若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b；②若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b；③若a是平面α的斜线，b是平面α内的一条直线，且b垂直于a在α内的射影，则a⊥b；④若a是平面α的射线，直线b平行于平面α，且b垂直于a在另一平面β内的射影，则a⊥b.5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________(填序号)．6．如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能情形)二、能力提升7．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)8．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，则AE＝________.9．在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.10．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.11．如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA.三、探究与拓展12．如图所示，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE.答案1．－42．(1,1,0)，(0,0,1)3．4．③5．①②③6．AC⊥BD7．DM⊥PC8．a或2a9．证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE＝BF＝x，∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．∴A1F＝(－x，a，－a)，C1E＝(a，x－a，－a)．∵A1F·C1E＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，∴A1F⊥C1E，即A1F⊥C1E.10．证明设AB中点为O，作OO1∥AA1，以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A，B，C，N，B1.∵M为BC中点，∴M.∴MN＝，AB1＝(1,0,1)，∴MN·AB1＝－＋0＋＝0.∴MN⊥AB1，∴AB1⊥MN.11．证明建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．所以EA＝(，1，－2)，CE＝(0,0,2)，ED＝(0,2，－1)．分别设面ECA与面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，则即解得即解得不妨取n1＝(1，－，0)，n2＝(，1,2)，因为n1·n2＝0，所以两个法向量相互垂直．所以平面DEA⊥平面ECA.12．证明(1)∵△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，∴AE⊥AB，又∵平面ABEF⊥平面ABCD且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，∴AE⊥平面ABCD，∴AE⊥AD.即AD、AB、AE两两垂直．故建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则AE＝1，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)．∵FA＝FE，∠AEF＝45°，∴∠AFE＝90°，从而F，EF＝，BE＝(0，－1,1)，BC＝(1,0,0)．∴EF·BE＝0，EF·BC＝0，∴EF⊥BE，EF⊥BC，又∵BE∩BC＝B，∴EF⊥平面BCE.(2)M，P，从而PM＝.于是PM·EF＝·＝0＋－＝0.∴PM⊥EF.又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，故PM∥平面BCE.
