§1.2应用举例(二)一、基础过关1.△ABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为,则其外接圆的直径为()A.B.C.D.92.△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则AB·BC的值为()A.19B.14C.-18D.-193.平行四边形中,AC=,BD=,周长为18,则平行四边形的面积是()A.16B.17C.18D.18.534.在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,a=,cosA=,则△ABC的面积S为()A.B.C.D.65.在△ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中点,AM=4,则BC等于()A.B.C.D.6.如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=45°,则圆O的面积为________.7.三角形两条边长分别为3cm,5cm,其夹角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根,则此三角形的面积是________cm2.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,AB·AC=3.(1)求△ABC的面积;(2)若c=1,求a的值.二、能力提升9.在△ABC中,B=60°,C=45°,BC=8,D是BC上的一点,且BD=BC,则AD的长为()A.4(-1)B.4(+1)C.4(3-)D.4(3+)10.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆面积为________.11.如图,在△ABC中,BC=5,AC=4,cos∠CAD=且AD=BD,求△ABC的面积.12.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30°,∠ADB=45°,求BD的长.三、探究与拓展13.在△ABC中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角.(1)求最大角的余弦值;(2)求以此最大角为内角,夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积.答案1.B2.D3.A4.A5.B6.8π7.68.解(1)因为cos=,所以cosA=2cos2-1=,sinA=.又由AB·AC=3,得bccosA=3,所以bc=5.因此S△ABC=bcsinA=2.(2)由(1)知,bc=5,又c=1,所以b=5.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=20,所以a=2.9.C10.11.解设CD=x,则AD=BD=5-x,在△CAD中,由余弦定理可知cos∠CAD==.解得x=1.在△CAD中,由正弦定理可知=,∴sinC=·=4=,∴S△ABC=AC·BC·sinC=×4×5×=.所以三角形ABC的面积为.12.解在△ABC中,AB=5,AC=9,∠BCA=30°.由正弦定理,得sin∠ABC==.∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC,于是sin∠BAD=sin∠ABC=.同理,在△ABD中,AB=5,sin∠BAD=,∠ADB=45°,由正弦定理,解得BD=.故BD的长为.13.解(1)设这三个数为n,n+1,n+2(n∈N*),最大角为θ,则cosθ=<0,化简得n2-2n-3<0⇒-1n+2,∴1<n<3,∴n=2.∴cosθ==-.(2)设此平行四边形的一边长为a,则夹θ角的另一边长为4-a,平行四边形的面积为S=a(4-a)·sinθ=(4a-a2)=[-(a-2)2+4]≤.当且仅当a=2时,Smax=.