高中数学 课时作业7 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 北师大版选修4-4-北师大版高二选修4-4数学试题VIP专享VIP免费

课时作业(七)1．把极坐标方程ρ＝2sin(＋θ)化为直角坐标方程为()A．(x－)2＋(y－)2＝1B．y2＝(2x－)C．(x－)(y－)＝0D.－＝1答案A解析原式变为ρ＝sinθ＋cosθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝ρsinθ＋ρcosθ. ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，∴x2＋y2－x－y＝0，即(x－)2＋(y－)2＝1.2．极坐标方程ρ＝cos(－θ)所表示的曲线是()A．直线B．椭圆C．双曲线D．圆答案D解析 ρ＝cos(－θ)＝cosθ＋sinθ，∴ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.∴x2＋y2＝x＋y，这个方程表示一个圆．3．极坐标方程4ρsin2＝5表示的曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案D4．圆ρ＝2cos(θ＋)的圆心为()A．(1，)B．(1，)C．(1，)D．(1，)答案D5．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程是()A．x2＋＝1B.＋y2＝1C．2x2＋y2＝1D．x2＋2y2＝1答案B解析 ρ2(1＋sin2θ)＝2，∴ρ2(cos2θ＋2sin2θ)＝2.∴ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ＝2，即x2＋2y2＝2，∴＋y2＝1.6．在极坐标中，和极轴垂直且相交的直线l与圆ρ＝4相交于A，B两点，若|AB|＝4，则直线l的极坐标方程为()A．ρcosθ＝2B．ρsinθ＝2C．ρcosθ＝D．ρsinθ＝答案A解析如右图，Rt△OAC中，|OC|＝＝＝2.设直线l的任意一点为M(ρ，θ)，则ρcosθ＝2.7．极坐标方程ρ＝sinθ＋2cosθ表示的曲线为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线答案B8．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcosθ＋ρsinθ＝1围成图形的面积是()A.B.1C.D.答案B9．极坐标方程ρcos(θ＋)＝7与方程2ρsin(θ－)＝29的两图形的位置关系为()A．平行B．垂直C．斜交D．不确定答案A10．极点到直线ρ(cosθ－sinθ)＝2的距离为________．答案解析直线ρ(cosθ－sinθ)＝2的直角坐标方程为x－y－2＝0，极点的直角坐标为(0，0)，∴极点到直线的距离为d＝＝.11．曲线ρcos2θ＝4sinθ的焦点的一个极坐标为______．答案(1，)12．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．答案ρcosθ＝3解析由题意可知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心是(3，0)，所求直线的方程为x＝3，则极坐标方程为ρcosθ＝3.13．已知点P的极坐标是(1，π)，则过点P且垂直极轴的直线的极坐标方程是________．答案ρcosθ＝－1解析如图所示，由图知ρcos(π－θ)＝1，即ρcosθ＝－1.14．将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明是何曲线．(1)ρsinθ＝1；(2)ρ(cosθ＋sinθ)－4＝0；(3)ρ＝－2cosθ；(4)ρ＝cosθ－2sinθ.解析利用极坐标和直角坐标互化公式求解：ρcosθ＝x，ρsinθ＝y.(1)ρsinθ＝1⇒y＝1，表示的是一条直线．(2)ρ(cosθ＋sinθ)－4＝0⇒ρcosθ＋ρsinθ－4＝0，∴x＋y－4＝0，表示的是一条直线．(3)ρ＝－2cosθ两边同乘以ρ，得ρ2＝－2ρcosθ.∴x2＋y2＋2x＝0即(x＋1)2＋y2＝1，表示的是以(－1，0)为圆心，以1为半径的圆．(4)ρ＝cosθ－2sinθ两边同乘以ρ，得ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ，∴x2＋y2＝x－2y即x2＋y2－x＋2y＝0.即(x－)2＋(y＋1)2＝()2，表示的是以(，－1)为圆心，半径为的圆．将极坐标方程化为ρcosθ、ρsinθ和ρ2的形式，为了方便，有时两边要同乘以ρ.15．把下列极坐标方程化成直角坐标方程或将直角坐标方程化成极坐标方程：(1)θ＝；(2)ρ2＝16cos2θ；(3)2xy＝1；(4)x2＋y2－4x＝0.解析(1)tanθ＝，∴＝，∴y＝x(x≥0)．(2)ρ2＝16(cos2θ－sin2θ)，∴ρ4＝16ρ2cos2θ－16ρ2sin2θ.∴(x2＋y2)2＝16(x2－y2)．(3)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得2ρ2cosθsinθ＝1，即ρ2sin2θ＝1.2(4)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρcosθ＝0.∴ρ2＝4ρcosθ，∴ρ＝4cosθ.1．极坐标方程ρ＝cos(＋θ)表示的曲线是()A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆答案D解析方程可化为ρ＝cosθ－sinθ，所以ρ2＝ρcosθ－ρsinθ，由互化公式得x2＋y2－x＋y＝0.故选D.2．在极坐标系中，与圆ρ＝2sinθ相切的一条直线方程为()A．ρsinθ＝1B．ρcosθ＝1C．ρcosθ＝2D．ρcosθ＝－2答案B解析ρ＝2sinθ⇒ρ2＝2ρsinθ，即x2＋y2－2y＝0，所以x2＋(y－1)2＝1，表示的是以(0，1)为圆心，半径为1的圆．又ρsinθ＝1⇒y＝1...