1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课时跟踪检测一、选择题1．自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数答案：A2．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D.不确定解析：k1＝＝＝2x0＋Δx；k2＝＝＝2x0－Δx.因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．答案：D3．已知函数f(x)＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则lim等于()A．2B．2xC．2＋ΔxD.2＋Δx2解析：∵邻近一点的坐标为(1＋Δx,2＋Δy)，∴2＋Δy＝f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2＋1＝2＋2Δx＋(Δx)2.∴Δy＝(Δx)2＋2Δx.∴＝2＋Δx.∴lim＝lim(2＋Δx)＝2.故选A.答案：A4．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则实数a的值是()A.B．C.D.解析：∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(－1)＝lim＝lim＝lim(aΔx2－3aΔx＋3a＋3Δx－6)＝3a－6＝4，解得a＝，故选D.答案：D5．(2019·杭州二中月考)设函数f(x)可导，则lim等于()A．f′(1)B．3f′(1)C.f′(1)D.f′(3)解析：lim＝lim＝f′(1)．答案：C6．子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，子弹1从枪口射出时所用的时间为t0＝1.6×10－3s，则子弹射出枪口时的瞬时速度为()A．1000m/sB．500m/sC．1600m/sD.800m/s解析：设运动方程为s＝at2，∴＝＝at0＋aΔt，∴瞬时速度v＝lim＝at0＝5×105×1.6×10－3＝800m/s，故选D.答案：D二、填空题7．(2019·龙岩一中月考)给出下列结论：①函数y＝2x2－1在x＝3处的导数为11；②若物体的运动规律是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度v等于f′(t0)；③物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v＝v(t)描述，其中v表示瞬时速度，t表示时间，那么该物体运动的加速度为a＝lim.其中正确的结论序号为________．解析：①函数y＝2x2－1在x＝3处的导数为12，故①错，根据变化率在物理学中的含义知②③正确．答案：②③8．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在A，B两点间的平均变化率为________．解析：由＝＝－1.答案：－19．设f(x)在R上可导，已知f(－x)在x＝a处的导数为A，则f(x)在x＝－a处的导数为________．解析：∵f(－x)在x＝a处的导数为A，∴A＝lim，∴f(x)在x＝－a处的导数f′(－a)＝lim＝－A.答案：－A三、解答题10．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t＋1，求速度为零的时刻．解：∵Δs＝s(t＋Δt)－s(t)＝(t＋Δt)3－(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋1－＝t2Δt＋tΔt2＋Δt3－3tΔt－Δt2＋2Δt，∴＝t2＋tΔt＋Δt2－3t－Δt＋2，∴lim＝t2－3t＋2，由t2－3t＋2＝0，得t＝1或t＝2.所以速度为零的时刻为1秒末和2秒末．11．用定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数．解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1＝＝2＝＝，∴＝，∴lim＝lim＝－.即函数f(x)在x＝1处的导数为－.12．(2019·张家口期末)若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s＝求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1s时的瞬时速度．解：(1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24m/s.(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．因为物体在t＝0附近的平均变化率为＝＝＝3Δt－18.所以物体在t＝0处的瞬时变化率为lim＝lim(3Δt－18)＝－18.即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t＝1s时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝＝3Δt－12.所以物体在t＝1处的瞬时变化率为lim＝lim(3Δt－12)＝－12.即物体在t＝1s时的瞬时速度为－12m/s.13．已知函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则lim等于()A．f′(x0)B．2f′(x0)C．－2f′(x0)D.0解析：lim＝2lim＝2f′(x0)，故选B.答案：B34
