专题能力训练10数列求和与数学归纳法(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若数列{an}是公差不为0的等差数列,满足,则该数列的前10项和S10=()A.-10B.-5C.0D.52.(2017浙江金华十校3月联考)在数列{an}中,an+1-an=2,Sn为{an}的前n项和.若S10=50,则数列{an+an+1}的前10项和为()A.100B.110C.120D.1303.已知数列5,6,1,-5,…,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于()A.5B.6C.7D.164.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是()A.若d<0,则数列{Sn}有最大项B.若数列{Sn}有最大项,则d<0C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意n∈N*,均有Sn>0D.若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列5.已知数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列.设cn=,Tn=c1+c2+…+cn(n∈N*),则当Tn>2017时,n的最小值是()A.7B.9C.10D.116.在数列{an}中,若存在非零整数T,使得am+T=am对于任意的正整数m均成立,则称数列{an}为周期数列,其中T叫做数列{an}的周期.若数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N),如x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),当数列{xn}的周期最小时,该数列的前2016项的和是()A.672B.673C.1342D.13447.若数列{an}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则+…+等于()A.B.C.D.8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为()A.2B.3C.4D.5二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,则数列{an}的前n项和Sn=.10.已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,bn=(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Sn,则S100的值为.11.定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知数列{an}满足:an=(n∈N*),若对任意正整数n,都有an≥ak(k∈N*)成立,则ak的值为.12.(2017浙江杭州二中综合测试)设数列{an}的前n项和为Sn,若a2=12,Sn=kn2-1(n∈N*),则数列的前n项和为.13.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a2n=n-an,a2n+1=an+1,则S100=.(用数字作答)14.已知数列{an}是首项为15的等比数列,其前n项的和为Sn,若S3,S5,S4成等差数列,则公比q=,当{an}的前n项的积达到最大时n的值为.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知数列{an}满足:a1=2e-3,an+1+1=(n∈N*).求证:(1)数列为等差数列;(2)数列{an}单调递增;(3)+…+.16.(本小题满分15分)设数列{an}满足a1=3,an+1=-2nan+2,n=1,2,3,….(1)求a2,a3,a4的值,猜想数列{an}的通项公式,并加以证明;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,试求使得Sn<2n成立的最小正整数n,并给出证明.参考答案专题能力训练10数列求和与数学归纳法1.C解析由题意,得,即(a4-a7)·(a4+a7)=(a6-a5)(a6+a5),即-3d(a4+a7)=d(a6+a5),又因为d≠0,所以a4+a7=a6+a5=0,则该数列的前10项和S10==5(a6+a5)=0.故选C.2.C解析数列{an+an+1}的前10项和为a1+a2+a2+a3+…+a10+a11=2(a1+a2+…+a10)+a11-a1=2S10+10×2=120.故选C.3.C解析根据题意这个数列的前8项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,可以发现从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.又因为16=2×6+4,所以这个数列的前16项之和S16=2×0+7=7.故选C.4.C解析 Sn=na1+d=n2+n,∴若d<0,则数列{Sn}有最大项,反之亦然,故A,B正确;若数列{Sn}是递增数列,则Sn+1-Sn=dn+a1>0对任意n∈N*均成立,故有取d=2,a1=-1可知C不正确,故选C.5.C解析 数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴an=2n-1. 数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴bn=2n-1,∴Tn=c1+c2+…+cn=+…+=a1+a2+a4+…+=(2×1-1)+(2×2-1)+(2×4-1)+…+(2×2n-1-1)=2(1+2+4+…+2n-1)-n=2×-n=2n+1-n-2. Tn>2017,∴2n+1-n-2>2017,解得n≥10.则当Tn>2017时,n的最小值是10.故选C.6.D解析当数列的周期最小时,数列为1,1,0,1,1,0……故S2016=×2=1344.7.D解析由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,则a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,…,an-an-1=(n-1)+1,以上等式相加,得an-a1=1+2+3+…+(n-1)+n-1,把a1=1代入上式得,an=1+2+3+...
