第四课时用向量方法求空间中的距离课时演练·促提升A组1.若O为坐标原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.B.2C.D.解析:由已知可得A(1,1,-2),B(3,2,8).于是P,又C(0,1,0),故||=.答案:D2.如图,在直二面角α-l-β中,AC⊂α,BD⊂β,AC⊥l,BD⊥l,AC=1,AB=2,BD=3,则C,D两点之间的距离为()A.B.2C.D.解析:因为,所以||2=()2=||2+||2+||2+2()=12+22+32+2×(0+0+0)=14,故||=.答案:C3.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是()A.aB.aC.aD.a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系.∵正方体的棱长为a,∴A1(a,0,a),A(a,0,0),M,B(a,a,0),D(0,0,0).设n=(x,y,z)为平面MBD的一个法向量,则∵,∴令y=1,则z=2,x=-1,∴平面MBD的法向量为n=(-1,1,2).又∵=(a,0,a),∴点A1与平面MBD的距离d=a.答案:A4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是()A.B.C.D.解析:如图,建立空间直角坐标系,则=(2,0,0),=(1,0,2),1设∠ABE=θ,则cosθ=,sinθ=.故A到直线BE的距离d=||sinθ=2×.答案:B5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则点D1到AC的距离为.解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1).设M为AC中点,则M.∵AD1=CD1,∴MD1即为点D1到AC的距离.而||=,∴点D1到AC的距离为.答案:6.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则点D到平面EFD1B1的距离为.解析:建立如图所示的空间坐标系.则D1(0,0,0),F,E,B1(1,1,0),D(0,0,1).故=(1,1,0),则可求得平面EFD1B1的法向量为n=.又=(0,0,1),故d=.答案:7.如图,在二面角α-l-β中,AB⊂α,且AB⊥l,CD⊂β,CD⊥l,B、C∈l,且AB,CD的夹角为60°,若AB=BC=CD=1,求A与D两点间的距离.解:∵,∴||2=()2=||2+||2+||2+2(),∵AB=BC=CD=1,AB⊥BC,CD⊥BC,且AB,CD的夹角为60°,∴=0,=||||cos=1×1×cos(180°-60°)=-,∴||2=1+1+1+2×=2,即||=,故A与D间的距离等于.8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.求点C到平面AEC1F的距离.2解:建立以D为原点,DA,DC,DF分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),故=(0,4,1),=(-2,0,2).设n=(x,y,z)为平面AEC1F的法向量,则令z=1得y=-,x=1.故n=.又=(0,0,3),故点C到平面AEC1F的距离d=.故点C到平面AEC1F的距离为.B组1.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P到△ABC的重心G的距离为()A.2B.C.1D.解析:建立如图的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),所以G,故||==.答案:D2.已知直线l经过点A(2,3,1),且向量n=(1,0,-1)所在直线与l垂直,则点P(4,3,2)到l的距离为.解析:∵=(-2,0,-1),且n与l垂直,∴点P到l的距离为.答案:3.已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与ACD垂直.则B与D之间的距离为.解析:由B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N.则可求得AM=,BM=,CN=,DN=.MN=1.∵,∴||2=()2=||2+||2+||2+2()=+12++2(0+0+0)=,∴||=.答案:4.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,则A1B1到平面ABE的距离是.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,3则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,,1),A1(1,0,2),则=(0,2,0),=(-1,-,1),=(0,0,2).设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=0,z=1.故n=(1,0,1).故A1B1到平面ABE的距离d=.答案:5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=60°,AB=AA1=A1C1=1,求BC1.解:,∴||2=()2=||2+||2+2=||2+||2.又∵∠BAC=60°,AB=AA1=A1C1=1,∴BC=1,CC1=1.∴||=,即BC1=.6.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F.设DH⊥平面PEF,垂足为H,则=x+y+z=,(x+y+z=1)..∴=x+y+-z=x+y-z=0.同理,x+y-z=0.又∵x+y+z=1,∴可解得x=y=,z=,∴×(2,2,3).∴||=.故点D到平面PEF的距离为.(2)设AH'⊥平面PEF,垂足为H'.则,设=λ(2,2,3)=(2λ,2λ,3λ)(λ≠0),则+(2λ,2λ,3λ)=,∴=4λ2+4λ2-λ+9λ2=0,即λ=.∴×(2,2,3),||=.又∵AC∥平面PEF,∴AC到平面PEF的距离为.47.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ABC=90°,PA=AD=2,AB=BC=1,问:在线段PA上是否存在一点M,使其到平面PCD的距离为?若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.解:如图,以点A为原点,AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0),=(1,1,-2),=(0,2,-2).设直线PA上有一点M(0,0,z0),平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得所以n=(1,1,1),所以n0=.故点M到平面PCD的距离为d=|n0·|=|2-z0|.令d=,可解得z0=3或z0=1.当z0=3时,M(0,0,3)在线段AP的延长线上,故舍去;当z0=1时,M(0,0,1)是线段AP的中点.综上可知,线段AP的中点到平面PCD的距离为.5
