第三章空间向量与立体几何(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y的值分别为()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝1解析：如图，AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(A1B1＋A1D1)＝AA1＋AB＋AD∴x＝，y＝.答案：C2．已知A(1,2，－1)，B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则BC＝()A．(－2,0，－2)B．(2,0,2)C．(－1,0，－1)D．(0，－2，－2)解析：由题意可知，B(1,2,1)，C(－1,2，－1)，∴BC＝(－2,0，－2)．答案：A3．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为()A.B．C.D．解析：如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，设AB＝1，则AA1＝2，∴B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，∴BE＝(0，－1,1)，CD1＝(0，－1,2)，∴cos〈BE，CD1〉＝＝.答案：C4．(2018·长春模拟)如图所示，正三棱锥A－BCD的底面与正四面体E－BCD的侧面BCD重合，连接AE，则异面直线AE与CD所成角的大小为()A．30°B．45°1C．60°D．90°解析： 如图，正三棱锥A－BCD的底面与正四面体E－BCD的侧面BCD重合，△BCD是等边三角形，∴AE过△BCD的中心，∴AE⊥平面BCD，∴异面直线AE与CD所成角的大小为90°.答案：D5．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为()A．(1,1,1)B.，，1C.，，1D.，，1解析：设M点的坐标为(x，y,1)，连接OE，则O，，0，又E(0,0,1)，A(，，0)，∴OE＝－，－，1，AM＝(x－，y－，1)． AM∥平面BDE，∴OE∥AM，∴∴则M点的坐标为，，1.答案：C6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM所成的角为()A．60°B．45°C．90°D．以上都不对解析：建立空间直角坐标系D－xyz，如图所示，依题意，得A(2，0,0)，P(0,1，)，M(，2,0)．∴PM＝(，1，－)，AM＝(－，2,0)，∴AM·PM＝－2＋2＋0＝0.∴AM⊥PM，即AM与PM所成的角为90°.答案：C7．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为()A．60°B．45°C．30°D．90°解析：设m＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，由题意得得令z＝1，得∴m＝，则AD与平面ABC所成角θ满足sinθ＝＝，又θ∈，2∴θ＝30°.答案：C8．如图，矩形CDEF和梯形ABCD所在的平面互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝DE＝CD，则DE与平面EBC所成角的正弦值为()A.B．C.D．解析：平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，DE⊂平面CDEF，DE⊥CD，∴DE⊥平面ABCD.以D为坐标原点，DA，DC，DE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系D－xyz，设DA＝a，则B(a，a,0)，E(0,0，a)，C(0,2a,0)，∴BE＝(－a，－a，a)，DE＝(0,0，a)，BC＝(－a，a,0)，设平面EBC的法向量m＝(x，y，z)．则即取x＝1，则m＝(1,1,2)．设DE与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.答案：B9．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为()A.，1B．，1C.，1D．，1解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E0,1，，G，0,1，F(x,0,0)，D(0，y,0)．因为GD⊥EF，即GD⊥EF，且GD＝－，y，－1，EF＝x，－1，－，所以x＋2y－1＝0，DF＝＝＝.当y＝时，线段DF长度的最小值是；当y＝1时，线段DF长度的最大值是1.因为不包括端点，所以y＝1不能取．故选A.答案：A10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A.B．C.D．3解析：不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．平面ACD1的一个法向量为DB1＝(1,1,1)．又BB1＝(0,0,1)，则cos〈DB1，BB1〉＝＝＝.故BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.答案：B11．已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则...
