高中数学 第二章 解析几何初步 222 抛物线的简单性质课件 北师大版必修2 课件VIP专享VIP免费

[最新考纲]1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．抛物线辨析感悟1．对抛物线定义的认识(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(×)2．对抛物线的标准方程与几何性质的理解(3)(2013·北京卷改编)若抛物线y＝ax2的焦点坐标为(0,1)，则a＝14，准线方程为y＝－1.(√)(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(×)(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.(√)[感悟·提升]1．一点提醒抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．如(2)．2．两个防范一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程，如(3)．考点一抛物线的定义及其应用【例1】(2014·深圳一模)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()．A．2∶5B．1∶2C．1∶5D．1∶3解析如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由△MHN∽△FOA，则|MH||HN|＝|OF||OA|＝12，则|MH|∶|MN|＝1∶5，即|MF|∶|MN|＝1∶5.答案C规律方法抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．【训练1】(2014·山东省实验中学诊断)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|＞4时，|PA|＋|PM|的最小值是________．解析将x＝4代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±4，|a|＞4，所以A在抛物线的外部，如图，由题意知F(1,0)，则抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PN|－1＝|PA|＋|PF|－1.当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取最小值，此时|PA|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝9＋a2－1.答案9＋a2－1考点二抛物线的标准方程与几何性质【例2】(2014·郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()．A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝3x解析如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， |BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝12|AA1|＝12|AF|，即p＝32，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.答案C规律方法(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【训练2】(2014·宜川中学模拟)已知圆x2＋y2＋mx－14＝0与抛物线y＝14x2的准线相切，则m＝()．A．±22B.3C.2D．±3解析抛物线的标准方程为x2＝4y，所以准线为y＝－1.圆的标准方程为x＋m22＋y2＝m2＋14，所以圆心为－m2，0，半径为m2＋12.所以圆心到直线的距离为1，即m2＋12＝1，解得m＝±3.答案D考点三直线与抛物线的位置关系【例3】(2013·湖南卷)过抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1＞0，k2＞0，证明：FM→·FN→＜2p2；(2)若点M到直线l的距离的最小值为755，求抛物线E的方程．审题路线(1)写出直线l1的方程⇒与抛物线联立⇒用...