高中数学 (第四讲：数学归纳法证明不等式)课件 新人教A版选修4-5 课件VIP免费

数学归纳法证明不等式1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的n的值，如n0＝1)(归纳奠基）；2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.数学归纳法:关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！用上假设，递推才真注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.练习：用数学归纳法证明不等式sinsinnn≤证明:⑴当1n时,上式左边sin右边,不等式成立.练习：用数学归纳法证明不等式sinsinnn≤⑵设当(1)nkk≥时,不等式成立,即有sinsinkk≤.那么,当1nk时,sin(1)k=思考1：证明贝努利不等式如果x是实数，且1x，0x，n为大于1的自然数，那么有(1)1nxnx.答案注：事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数仍有类似不等式成立.当是实数,且0或时,有(1)1xx≥(1)x当是实数,且01时,有(1)1xx≤(1)x证明贝努利不等式你有第二种方法吗？例4、已知x>1，且x0，nN*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.（2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即(1+x)k>1+kx当n=k+1时，因为x>1，所以1+x>0，于是左边=(1+x)k+1证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2∵x0，∴1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边=1+(k+1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.1答案2答案注：这一命题与均值不等式是等价的.你能根据上面不等式推出均值不等式吗？思考2证明:如果(nn为正整数)个正数12,,,naaa的乘积121naaa,那么它们的和12naaan≥.思考2证明:如果(nn为正整数)个正数12,,,naaa的乘积121naaa,那么它们的和12naaan≥.证明:⑴当1n时,有11a，命题成立.⑵设当nk(1)k≥时，命题成立，即若k个正数12,,,kaaa的乘积121kaaa,那么它们的和12kaaak≥.那么当1nk时,已知1k个正数121,,,,kkaaaa满足1211kkaaaa.若1k个正数121,,,,kkaaaa都相等,则它们都是1.其和为1k,命题成立.若这1k个正数121,,,,kkaaaa不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数(否则与1211kkaaaa矛盾).不妨设121,1aa.答案接上见课本(或见板书)课外训练:答案1.求证:222111112(,2).23nNnnn≥作业:课本54P6题明天开始复习不等式(使用发的资料).2.当2n≥时,求证:111123nn3.用数学归纳法证明:1*5231()nnnAnN能被8整除.证:(1)当n=1时,左边=,右边=,由于故不等式成立.2151241322253,42(2)假设n=k()时命题成立,即,2kNk≥222111112.23kk则当n=k+1时,222221111111223(1)(1)kkkk211111111222()2.(1)(1)11kkkkkkkkk即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.,2nNn≥1.求证:222111112(,2).23nNnnn≥2.当2n≥时,求证:111123nn证明：（1）当时，左式右式n2112122172.当时，不等式成立n2（）假设当时，不等式成立，即22nk()111123kk则当时，nk11111112311kkkk左式(1)1111111kkkkkkkkk右式当时，不等式成立。nk1由（）（）可知，对一切，且，不等式都成立。122nNn3.用数学归纳法证明:1*5231()nnnAnN能被8整除.证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即15231kkkA是8的倍数.那么:115231kkkA1115(5231)4(31)54(31)kkkkkA因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n,An能被8整除.