第八章 向量的数量积与三角恒等变换8
3 向量数量积的坐标运算学习目标1
掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算
能运用数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系
体验用数量积的坐标运算解决某些简单的几何问题
重点：向量数量积的坐标运算与度量公式
难点：灵活运用向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关问题
知识梳理已知向量＝
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
一、向量的坐标与向量的数量积1
向量数量积的坐标运算推导：设由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底{e1 ， e2} ，使得，因此特别提醒：公式 a·b ＝ |a||b|cos 〈 a ， b 〉与 a·b ＝ x1x2+y1y2 都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，可相互推导
若已知两向量的模与夹角，则用公式 a·b ＝ |a||b|cos 〈 a ，b 〉求解；若已知两向量的坐标，则用公式 a·b ＝ x1x2+y1y2 求解
向量的长度（模）的坐标运算若则
利用向量的数量积，同样可以方便地得出平面直角坐标系中两点之间的距离公式
在平面直角坐标系中，如果，则＝因此＝
向量的夹角的坐标运算设向量，则cos ＝＝
方法技巧：利用数量积的坐标运算求两个向量夹角的步骤：（ 1 ）利用坐标运算求 a·b ；（ 2 ）利用 |a| ＝与 |b| ＝求两个向量的模；（ 3 ）由 cos ＝＝直接求出 cos ；（ 4 ）在 [0,π] 内，由 cos 的值求
设因为的充要条件是，因此二、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件注意应用两向量平行于垂直的充要条件时，要特别注意两者的区别，切忌混淆
一、平面向量数量积的坐标运算常考题型例 1 已知向量 a ＝（ 1 ， 2 ）， b ＝（ 3 ， 4 ），求 a·b ，（
