2006 年考前必练数学创新试题 数列经典题选析数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.一、等差数列与等比数列例 1．A＝{递增等比数列的公比}，B＝{递减等比数列的公比}，求 A∩B．解：设 q∈A，则可知 q>0（否则数列为摆动数列）．由 an＋1－an＝a1·qn－a1·qn－1＝a1·qn－1(q－1)>0，得当 a1＞0 时，那么 q＞1；当 a1＜0 时，则 0＜q＜1．从而可知 A＝{q | 01}．若 q∈A，同样可知 q>0．由 an＋1－an＝a1·qn－a1·qn－1＝a1·qn－1(q－1)＜0，得当 a1＞0 时，那么 0＜q＜1；当 a1＜0 时，则 q＞1．亦可知 B＝{q | 01}．故知 A∩B＝{q | 01}．说明：貌似无法求解的问题，通过数列的基本量，很快就找到了问题的突破口！例 2．求数列 1，(1＋2)，(1＋2＋22)，……，(1＋2＋22＋……＋2n－1)，……前 n 项的和．分析：要求得数列的和，当务之急是要求得数列的通项，并从中发现一定规律．而通项又是一等比数列的和．设数列的通项为 an，则 an＝1＋2＋22＋……＋2n－1＝＝2n－1．从而该数列前 n 项的和Sn＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1) ＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2．说明：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、 4、5、常用的数列求和方法有：利用常用求和公式求和；错位相减法求和；反序相加法求和；分组法求和；裂项法求和；合并法求和；利用数列的通项求和等等。例 3．已知等差数列{an}的公差 d＝，S100＝145．设 S 奇＝a1＋a3＋a5＋……＋a99，S＇＝a3＋a6＋a9＋……＋a99，求 S 奇、S＇．解：依题意，可得 S 奇＋S 偶＝145，即 S 奇＋(S 奇＋50d)＝145， 即 2 S 奇＋25＝145， 解得，S 奇＝120．又由 S100＝145，得 ＝145，故得 a1＋a100＝2.9S＇＝a3＋a6＋a9＋……＋a99＝＝＝＝＝1.7·33＝56.1．说明：整体思想是求解数列问题的有效手段！例 4．在数列{an}中，a1＝b(b≠0)，前 n 项和 Sn构成公比为 q 的等比数列。（1）求证：数列{an}不是等比数列；（2）设 bn＝a1S1＋a2S2＋…＋anSn，|q|<1，求bn。解：（1）证明：由已知 S1＝a1＝b {Sn}成等比数列，且公比为 q。∴Sn＝bqn－1，∴Sn－1＝b·qn－2(n≥2)。当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝bqn－1－bqn－2＝b·(q－1)·q...
