第三节等比数列及其前n项和考点一等比数列的概念及性质1.(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝()A.2B.1C.D.解析由{an}为等比数列，得a3a5＝a，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2，设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.选C.答案C2.(2012·安徽，5)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5等于()A.1B.2C.4D.8解析由题意可得，a3·a11＝a＝16，∴a7＝4.∴a5＝＝＝1.答案A3.(2012·北京，6)已知{an}为等比数列.下面结论中正确的是()A.a1＋a3≥2a2B.a＋a≥2aC.若a1＝a3，则a1＝a2D.若a3＞a1，则a4＞a2解析由等比数列性质，得a＋a≥2a1a3＝2a，故选B.答案B4.(2015·广东，13)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________.解析 三个正数a，b，c成等比数列，∴b2＝ac＝(5＋2)(5－2)＝1. b为正数，∴b＝1.答案15.(2014·广东，13)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.解析由等比数列的性质可知a1a5＝a2a4＝a，于是，由a1a5＝4得a3＝2，故a1a2a3a4a5＝32，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log232＝5.答案56.(2013·北京，11)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.解析根据等比数列的性质知a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴q＝2，又a2＋a4＝a1q＋a1q3，故求得a1＝2，∴Sn＝＝2n＋1－2.答案22n＋1－27.(2012·广东，12)若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________.解析在等比数列中，a2a4＝a1a5＝a＝，∴a1aa5＝a＝.答案8.(2012·课标全国，14)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.解析由＋3·＝0，得1＋q2＋q＋3(1＋q)＝0，即q2＋4q＋4＝0，(q＋2)2＝0，所以q＝－2，故填－2.答案－29.(2015·四川，16)设数列{an}(n＝1，2，3…，)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.解(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.(2)由(1)得＝，所以Tn…＝＋＋＋＝＝1－.10.(2014·北京，15)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和.解(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3.所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2…，).设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝＝＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2…，).(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2…，).数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1.所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.11.(2014·福建，17)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)设{an}的公比为q，依题意得解得因此，an＝3n－1.(2)因为bn＝log3an＝n－1，所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.12.(2013·天津，19)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3，4S4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明Sn＋≤(n∈N*).(1)解设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3，4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为an＝×(－)n－1＝(－1)n－1·.(2)证明Sn＝1－，Sn＋＝1－＋＝当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S1＋＝.当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S2＋＝.故对于n∈N*，有Sn＋≤.13.(2013·湖南，19)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和.解(1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a，因为a1≠...
