（人教专用）2014高考数学总复习热点重点难点专题透析专题4第3课时高考中的立体几何解答题练习题理(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1．(2013·郑州市毕业年级第二次质量预测)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，CD＝λCC1.(λ∈R)(1)当λ＝时，求证：AB1⊥平面A1BD；(2)当二面角A－A1D－B的大小为时，求实数λ的值．解析：(1)证明：取BC的中点为O，连接AO，因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面CBB1C1，且△ABC为正三角形，所以AO⊥BC，AO⊥平面CBB1C1.以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则A(0,0，)，B1(1,2,0)，D(－1，1,0)，A1(0,2，)，B(1，0,0)．所以AB1＝(1,2，－)，DA1＝(1,1，)，DB＝(2，－1,0)．因为AB1·DA1＝1＋2－3＝0，AB1·DB＝2－2＝0，所以AB1⊥DA1，AB1⊥DB，又DA1∩DB＝D，所以AB1⊥平面A1BD.(2)由(1)得D(－1,2λ，0)，所以DA1＝(1,2－2λ，)，DB＝(2，－2λ，0)，DA＝(1，－2λ，)．设平面A1BD的法向量n1＝(x，y，z)，平面AA1D的法向量n2＝(s，t，u)，由，得平面A1BD的一个法向量n1＝；同理可得平面AA1D的一个法向量n2＝(，0，－1)，由|cos〈n1，n2〉|＝＝，解得λ＝，即为所求．2．(2013·安徽“江南十校”高三联考)如图1，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝AB＝2，BC＝3，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝BF＝1，G为AB的中点，将四边形ABFE沿EF折起到图2所示的位置，使得EG⊥GC，连接AD，BC，AC，得图2所示的六面体．(1)求证：EG⊥平面CFG；(2)求二面角A－CD－E的余弦值．解析：(1)证明： E，F分别是AD，BC上的点，AE＝BF＝1，∴四边形ABFE为矩形．∴折叠后EF⊥FC，EF⊥BF，即EF⊥平面BFC.连接GF，GE， AE＝1，BF＝1，AB＝2，∴∠EGF＝90°.又EG⊥GC，∴EG⊥平面CFG.(2)由(1)知FC⊥EG， FC⊥EF，∴FC⊥平面ABFE.∴FC⊥BF.方法一：如图建系F－xyz，则A(1,0,2)，C(0,2,0)，D(0,1,2)．设n1＝(x，y，z)为平面ACD的法向量， AD＝(－1,1,0)，CD＝(0，－1,2)，∴，解得.令z＝1得n1＝(2,2,1)．又n2＝(1,0,0)为平面CDEF的一个法向量，设二面角A－CD－E为θ，则cos〈n1，n2〉＝＝，即cosθ＝.方法二：延长CD，与FE的延长线交于P点，过E作EH⊥DP，垂足为点H，连接AH，则∠EHA为二面角A－CD－E的平面角，设二面角A－CD－E为θ，由DE＝1，得EP＝2，则EH＝， AE＝1，∴AH＝.∴cos∠AHE＝＝，即cosθ＝.3．(2013·南昌模拟测试)如图是多面体ABC－A1B1C1和它的三视图．(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE⊥平面A1CC1，若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值．解析：(1)由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(－2，0,0)，C(0，－2,0)，C1(－1，－1，2)，则CC1＝(－1,1,2)，A1C1＝(－1，－1,0)，A1C＝(0，－2，－2)．设E(x，y，z)，则CE＝(x，y＋2，z)，EC1＝(－1－x，－1－y,2－z)．设CE＝λEC1，则则E，BE＝.由，得，解得λ＝2，所以线段CC1上存在一点E，CE＝2EC1，使BE⊥平面A1CC1.(2)设平面C1A1C的法向量为m＝(x，y，z)，则由，得，取x＝1，则y＝－1，z＝1.故m＝(1，－1,1)，而平面A1CA的一个法向量为n＝(1,0,0)，则cos〈m，n〉＝＝＝，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为.4．(2013·深圳市调研)如图所示，⊙O的直径AB＝4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，∠DAB＝60°，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直．(1)求证：OF∥平面ACD；(2)求二面角C－AD－B的余弦值；(3)在上是否存在点G，使得FG∥平面ACD？若存在，请指出点G的位置，并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．解析：方法一：(1)证明：如图，连接CO， ∠CAB＝45°，∴∠COB＝90°，又F为的中点，∴∠FOB＝45°，∴OF∥AC. OF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴OF∥平面ACD.(2)过O作OE⊥AD于E，连接CE. CO⊥AB，平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB.∴CO⊥平面ABD.又AD⊂平面ABD，∴CO⊥AD，∴AD⊥平面CEO，AD⊥CE，∴∠CEO是二面角C－AD－B的平面角． ∠OAD＝60°，OA＝2，∴OE＝.由CO⊥平面ABD，OE⊂平面ABD，得△...
