(人教专用)2014高考数学总复习热点重点难点专题透析专题4第3课时高考中的立体几何解答题练习题理(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)1.(2013·郑州市毕业年级第二次质量预测)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,CD=λCC1.(λ∈R)(1)当λ=时,求证:AB1⊥平面A1BD;(2)当二面角A-A1D-B的大小为时,求实数λ的值.解析:(1)证明:取BC的中点为O,连接AO,因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面CBB1C1,且△ABC为正三角形,所以AO⊥BC,AO⊥平面CBB1C1.以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,0,),B1(1,2,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),B(1,0,0).所以AB1=(1,2,-),DA1=(1,1,),DB=(2,-1,0).因为AB1·DA1=1+2-3=0,AB1·DB=2-2=0,所以AB1⊥DA1,AB1⊥DB,又DA1∩DB=D,所以AB1⊥平面A1BD.(2)由(1)得D(-1,2λ,0),所以DA1=(1,2-2λ,),DB=(2,-2λ,0),DA=(1,-2λ,).设平面A1BD的法向量n1=(x,y,z),平面AA1D的法向量n2=(s,t,u),由,得平面A1BD的一个法向量n1=;同理可得平面AA1D的一个法向量n2=(,0,-1),由|cos〈n1,n2〉|==,解得λ=,即为所求.2.(2013·安徽“江南十校”高三联考)如图1,直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=AB=2,BC=3,E,F分别是AD,BC上的点,且AE=BF=1,G为AB的中点,将四边形ABFE沿EF折起到图2所示的位置,使得EG⊥GC,连接AD,BC,AC,得图2所示的六面体.(1)求证:EG⊥平面CFG;(2)求二面角A-CD-E的余弦值.解析:(1)证明: E,F分别是AD,BC上的点,AE=BF=1,∴四边形ABFE为矩形.∴折叠后EF⊥FC,EF⊥BF,即EF⊥平面BFC.连接GF,GE, AE=1,BF=1,AB=2,∴∠EGF=90°.又EG⊥GC,∴EG⊥平面CFG.(2)由(1)知FC⊥EG, FC⊥EF,∴FC⊥平面ABFE.∴FC⊥BF.方法一:如图建系F-xyz,则A(1,0,2),C(0,2,0),D(0,1,2).设n1=(x,y,z)为平面ACD的法向量, AD=(-1,1,0),CD=(0,-1,2),∴,解得.令z=1得n1=(2,2,1).又n2=(1,0,0)为平面CDEF的一个法向量,设二面角A-CD-E为θ,则cos〈n1,n2〉==,即cosθ=.方法二:延长CD,与FE的延长线交于P点,过E作EH⊥DP,垂足为点H,连接AH,则∠EHA为二面角A-CD-E的平面角,设二面角A-CD-E为θ,由DE=1,得EP=2,则EH=, AE=1,∴AH=.∴cos∠AHE==,即cosθ=.3.(2013·南昌模拟测试)如图是多面体ABC-A1B1C1和它的三视图.(1)线段CC1上是否存在一点E,使BE⊥平面A1CC1,若不存在,请说明理由,若存在,请找出并证明;(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值.解析:(1)由题意知AA1,AB,AC两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),B(-2,0,0),C(0,-2,0),C1(-1,-1,2),则CC1=(-1,1,2),A1C1=(-1,-1,0),A1C=(0,-2,-2).设E(x,y,z),则CE=(x,y+2,z),EC1=(-1-x,-1-y,2-z).设CE=λEC1,则则E,BE=.由,得,解得λ=2,所以线段CC1上存在一点E,CE=2EC1,使BE⊥平面A1CC1.(2)设平面C1A1C的法向量为m=(x,y,z),则由,得,取x=1,则y=-1,z=1.故m=(1,-1,1),而平面A1CA的一个法向量为n=(1,0,0),则cos〈m,n〉===,故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为.4.(2013·深圳市调研)如图所示,⊙O的直径AB=4,点C、D为⊙O上两点,且∠CAB=45°,∠DAB=60°,F为的中点.沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直.(1)求证:OF∥平面ACD;(2)求二面角C-AD-B的余弦值;(3)在上是否存在点G,使得FG∥平面ACD?若存在,请指出点G的位置,并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值;若不存在,请说明理由.解析:方法一:(1)证明:如图,连接CO, ∠CAB=45°,∴∠COB=90°,又F为的中点,∴∠FOB=45°,∴OF∥AC. OF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴OF∥平面ACD.(2)过O作OE⊥AD于E,连接CE. CO⊥AB,平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB.∴CO⊥平面ABD.又AD⊂平面ABD,∴CO⊥AD,∴AD⊥平面CEO,AD⊥CE,∴∠CEO是二面角C-AD-B的平面角. ∠OAD=60°,OA=2,∴OE=.由CO⊥平面ABD,OE⊂平面ABD,得△...