第四节 运用等价转换思想解题的策略等价转换是四大数学思想之一，在研究和解决中较难数学问题时，采用等价转换思想，将复杂的问题等价转换为简单的问题，将难解的问题通过等价转换为容易求解的问题，将未解决的问题等价转换为已解决的问题.近几年来高考试题要求学生要有较强的等价转换意识，等价转换思想的应用在近几年来高考试题中处处可见，是解高考试题常用的数学思想，难度值一般控制在.考试要求： （1）了解等价转换的数学思想和遵循的基本原则；（2）了解等价转换思想在解题中的作用；（3）掌握等价转换的主要途径、方法；（4）掌握几种常见的等价转换思路，灵活运用等价转换思想解决数学难题. 题型一 利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转换 例 1.（1）求的值;（2）求函数的最大值. 点拨: （1）利用所求式与余弦定理类似，再结合正弦定理的推论求值；（2）将函数最值问题转换为向量数量积问题，由数量积的不等式性质，求出最大值. 解：（1）注意到所求式与余弦定理类似，由∴原式=.（2）构造向量则，由知，，∴，当且仅当与共线且方向相同时，即时等号取得. 变式与引申 1：已知，且，求证：. 题型二 函数、方程及不等式解题中的等价转换例 2.（1）若、是正数，且满足，求的取值范围.(2)已知奇函数的定义域为实数集，且在上是增函数，当时，是否存在这样的实数，使对所有的均成立？若存在，求出所有适合条件的实数；若不存在，请说明理由.点拨:(1)将一个等式转换为不等式，是求变量取值范围的重要的方法，通常利用函数的单调性用心 爱心 专心1解答此类问题，或者利用基本不等式解答这类问题.(2)本题是一道抽象函数单调性、奇偶性的综合运用的问题，由函数的单调性、奇偶性得出关于和的不等式，既然需求的取值，不防把此问题转换为关于的函数和不等式的问题. 解：(1)方法一（看成函数的值域），，而， ，即或，又，，即，，当且仅当，时等号取得.方法二（看成不等式的解集）为正数，，又，，即，解得或（舍去），（2）由是上的奇函数可得，再利用的单调性，则可把原不等式转换成为关于的三角不等式，是上的奇函数，又在上是增函数，故是上为增函数.是上的增函数，即令，，.于是问题转换为对一切的，不等式恒成立，，即恒成立.又 用心 爱心 专心2存在实数满足题设的条件，. 易错点：(1)不能将等式转换为函数或者不等式进行研究；（2）由已知不等式，结合函数的单调性、奇偶性找不到和的不等式；错误理解自变量只为...
