15.1 矩阵与变换考情分析1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质．2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题．基础知识1．乘法规则(1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵的乘法规则：[a11 a12]＝[a11×b11＋ a 12×b21] ． (2)二阶矩阵与列向量的乘法规则： ＝.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ＝(4) 两 个 二 阶 矩 阵 的 乘 法 满 足 结 合 律 ， 但 不 满 足 交 换 律 和 消 去 律 ． 即 (AB)C ＝A(BC)，AB≠BA，由 AB＝AC 不一定能推出 B＝C.一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．2．常见的平面变换恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换．3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵 A、B，若有 AB＝BA＝E，则称 A 是可逆的，B 称为 A 的逆矩阵；(2)若二阶矩阵 A、B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.4．特征值与特征向量设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使 Aα＝λα，那么λ 称为 A 的一个特征值，而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量．题型一 矩阵与变换【例 1】求曲线 2x2－2xy＋1＝0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中 M＝，N＝.解 MN＝＝.设 P(x′，y′)是曲线 2x2－2xy＋1＝0上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点P(x，y)，则＝＝，于是 x′＝x，y′＝x＋，代入 2x′2－2x′y′＋1＝0，得 xy＝1.所以曲线 2x2－2xy＋1＝0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为 xy＝1.【变式 1】 四边形 ABCD 和四边形 A′B′C′D′分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为 A(－1,2)，B(3,2)，C(3，－2)，D(－1，－2)，A′(－1,0)，B′(3,8)，C′(3,4)，D′(－1，－4)，求将四边形 ABCD 变成四边形 A′B′C′D′的变换矩阵 M.解 该变换为切变变换，设矩阵 M 为，则＝.所以－k＋2＝0，解得 k＝2.所以 M 为.题型二 矩阵的乘法与逆矩阵【例 2】已知矩阵 A＝，B＝，求(AB)－1.解 AB＝ ＝.设(AB)－1＝，则由(AB)·(AB)－1＝，得 ＝，即＝，所以解得故(AB)－1＝.【...
