学案 44 利用向量方法求空间角导学目标： 1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别，体会求空间角中的转化思想．自主梳理1．两条异面直线的夹角① 定义：设 a，b 是两条异面直线，在直线 a 上任取一点作直线 a′∥b，则 a′与 a 的夹角叫做 a 与 b 的夹角．② 范围：两异面直线夹角 θ 的取值范围是_______________________________________．③ 向量求法：设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 φ，则有 cos θ＝________＝_______________.2．直线与平面的夹角① 定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角．② 范围：直线和平面夹角 θ 的取值范围是______________________________________．③ 向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为θ，a 与 u 的夹角为 φ，则有 sin θ＝|cos φ|或 cos θ＝sin φ.3．二面角(1)二面角的取值范围是____________．(2)二面角的向量求法：① 若 AB、CD分别是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图①)．② 设 n1，n2分别是二面角 α—l—β 的两个面 α，β 的法向量，则向量 n1与 n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．自我检测1．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________．2．若直线 l1，l2的方向向量分别为 a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则 l1与 l2所成的角等于________．3．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l 与平面 α 所成的角等于________．4．二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为________________________________________________________________________．5．已知直线 AB、CD 是异面直线，AC⊥CD，BD⊥CD，且 AB＝2，CD＝1，则异面直线 AB与 CD 所成的角的大小为________．探究点一 利用向量法求异面直线所成的角例 1 已知直三棱柱 ABC—A1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D 为 B1C1的中点，求异面直线 BD 和 A1C 所成角的余弦值．变式迁移 1 如图所示，在棱长为 a 的正方...
