5.2 同角三角函数的关系、诱导公式典例精析题型一 三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将 α 视为锐角后，再判断所求角的象限.【变式训练 1】已知 f(x)＝，θ∈(，π)，则 f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝ .【解析】f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝＋＝＋＝|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|.因为 θ∈(，π)，所以 sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.所以|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ.题型二 三角函数式的求值问题【例 2】已知向量 a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2).(1)若 a∥b，求 tan θ 的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求 θ 的值.【解析】(1)因为 a∥b，所以 2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是 4sin θ＝cos θ，故 tan θ＝.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以 1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即 sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是 sin(2θ＋)＝－.又由 0＜θ＜π 知，＜2θ＋＜，所以 2θ＋＝或 2θ＋＝.因此 θ＝或 θ＝.【变式训练 2】已知 tan α＝，则 2sin αcos α＋cos2α 等于( )A. B. C. D.2【解析】原式＝＝＝.故选 B.题型三 三角函数式的简单应用问题【例 3】已知－＜x＜0 且 sin x＋cos x＝，求：(1)sin x－cos x 的值；(2)sin3(－x)＋cos3(＋x)的值.【解析】(1)由已知得 2sin xcos x＝－，且 sin x＜0＜cos x，1所以 sin x－cos x＝－＝－＝－＝－.(2)sin3(－x)＋cos3(＋x)＝cos3x－sin3x＝(cos x－sin x)(cos2x＋cos xsin x＋sin2x)＝×(1－)＝.【点拨】求形如 sin x±cos x 的值，一般先平方后利用基本关系式，再求 sin x±cos x 取值符号.【变式训练 3】化简 .【解析】原式＝＝＝.总结提高1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1 是恒成立的.2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对 称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.2
