9.3 抛物线典例精析题型一 抛物线定义的运用【例 1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.(1)抛物线过点 P(2，－4)；(2)抛物线焦点 F 在 x 轴上，直线 y＝－3 与抛物线交于点 A，|AF|＝5.【解析】(1)设方程为 y2＝mx 或 x2＝ny.将点 P 坐标代入得 y2＝8x 或 x2＝－y.(2)设 A(m，－3)，所求焦点在 x 轴上的抛物线为 y2＝2px(p≠0)，由定义得 5＝|AF|＝|m＋|，又(－3)2＝2pm，所以 p＝±1 或±9，所求方程为 y2＝±2x 或 y2＝±18x.【变式训练 1】已知 P 是抛物线 y2＝2x 上的一点，另一点 A(a,0 ) (a＞0)满足|PA|＝d，试求 d的最小值.【解析】设 P(x0，y0) (x0≥0)，则 y＝2x0，所以 d＝|PA|＝＝＝.因为 a＞0，x0≥0，所以当 0＜a＜1 时，此时有 x0＝0，dmin＝＝a；当 a≥1 时，此时有 x0＝a－1，dmin＝.题型二 直线与抛物线位置讨论 【例 2】(2013 湖北模拟)已知一条曲线 C 在 y 轴右侧，C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.(1)求曲线 C 的方程；(2)是否存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有FBFA ＜0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设 P(x，y)是曲线 C 上 任意一点，那么点 P(x，y)满足：－x＝1(x＞0).化简得 y2＝4x(x＞0).(2)设过点 M(m,0)(m＞0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2).设 l 的方程为 x＝ty＋m，由 ,4,2xymtyx得 y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)＞0，于是 .4,42121myytyy ①又 FA ＝(x1－1，y1)， FB ＝(x2－1，y2).FA FB ＜0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②又 x＝，于是不等式②等价于 ·＋y1y2－(＋)＋1＜0⇔＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③由①式，不等式③等价于 m2－6m＋1＜4t2.④对任意实数 t,4t2 的最小值为 0，所以不等式④对于一切t 成立等价于 m2－6m＋1＜0，即 3－12＜m＜3＋2.由此可知，存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有 FA ·FB ＜0，且 m 的取值范围是(3－2，3＋2).【变式训练 2】已知抛物线 y2＝4x 的一条弦 AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 所在直线与 y 轴的交点坐标为(0,2)，则＋＝ .【解析】 xyymx4),2(2⇒y2－4my＋8m＝0，所以＋＝＝.题型三 有关抛物线...
