9.4 直线与圆锥曲线的位置关系典例精析题型一 直线与圆锥曲线交点问题【例 1】若曲线 y2＝ax 与直线 y＝(a＋1)x－1 恰有一个公共点，求实数 a 的值.【解析】联立方程组 ,,1)1(2axyxay(1)当 a＝0 时，方程组恰有一组解为 ;0,1yx(2)当 a≠0 时，消去 x 得 y2－y－1＝0，① 若＝0，即 a＝－1，方程变为一元一次方程－y－1＝0，方程组恰有一组解 ;1,1yx② 若≠0，即 a≠－1，令 Δ＝0，即 1＋＝0，解得 a＝－，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.综上所述，a＝0 或 a＝－1 或 a＝－.【点拨】本题设计了一个思维“陷阱”，即审题中误认为 a≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数aa1＝0，即 a＝－1 的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当 a＝0 时，曲线 y2＝ax，即直线 y＝0，此时与已知直线 y＝x－1 恰有交点(1,0)；②当 a＝－1时，直线 y＝－1 与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；③当 a＝－时直线与抛物线相切.【变式训练 1】若直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝4 有且只有一个公共点，则实数 k 的取值范围为( )A.{1，－1，，－}B.(－∞，－]∪[，＋∞)C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1)∪[，＋∞)【解析】由 4,122yxkxy⇒(1－k2)x2－2kx－5＝0，0,112Δk⇒k＝±，结合直线过定点(0，－1)，且渐近线斜率为±1，可知答案为 A.题型二 直线与圆锥曲线的相交弦问题【例 2】(2013 辽宁模拟)设椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60°， AF ＝2 FB .(1)求椭圆 C 的离心率；(2)如果|AB|＝，求椭圆 C 的方程. 【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 y1＜0，y2＞0.(1)直线 l 的方程为 y＝(x－c)，其中 c＝.1联立,1),(32222byaxcxy得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0.解得 y1＝，y2＝.因为 AF ＝2 FB ，所以－y1＝2y2，即＝2·.解得离心率 e＝＝.(2)因为|AB|＝|y2－y1|，所以·＝.由＝得 b＝a，所以 a＝，即 a＝3，b＝.所以椭圆的方程为＋＝1.【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题，以及用待定系数法求椭圆方程.【变式训练 2】椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A，B 两...
