12.3 二项式定理典例精析题型一 二项展开式的通项公式及应用【例 1】 已知nxx)21(4的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.(1)求证：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项. 【解析】由题意得 2C· 21＝1＋C·( 21)2，即 n2－9n＋8＝0，所以 n＝8，n＝1(舍去). 所以 Tr＋1＝r8C ·(x )r8·rx)21(4＝(－ 21)r·r8C ·28 rx·4rx＝(－1)r·rr2C8·4316rx(0≤r≤8，r∈Z).(1)若 Tr＋1 是常数项，则＝0，即 16－3r＝0，因为 r∈Z，这不可能，所以展开式中没有常数项.(2)若 Tr＋1 是有理项，当且仅当为整数，又 0≤r≤8，r∈Z，所以 r＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是 T1＝x4，T5＝ x，T9＝ x-2.【点拨】(1)把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键.除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质；(2)应用通项公式求二项展开式的特定项，如求某一项，含 x 某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是应用通项公式根据题意列方程，在求得 n 或 r 后，再求所需的项(要注意 n 和 r 的数值范围及大小关系)；(3) 注意区分展开式“第 r＋1 项的二项式系数”与“第 r＋1 项的系数”.【变式训练 1】若(x＋32x )n 的展开式的前 3 项系数和为 129，则这个展开式中是否含有常数项，一次项？如果有，求出该项，如果没有，请说明理由.【解析】由题知 C＋C·2＋C·22＝129，所以 n＝8，所以通项为 Tr＋1＝C(x)8-r rx)2( 3＝rrxr611128C2，故 r＝6 时，T7＝26Cx＝1 792x，所以不存在常数项，而存在一次项，为 1 792x.题型二 运用赋值法求值【例 2】(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且 a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，则 n＝ ；1(2)已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若 5a1＋2a2＝0，则 a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝ . 【解析】(1)易知 an＝1，令 x＝0 得 a0＝n，所以 a0＋a1＋…＋an＝30.又令 x＝1，有 2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋…＋an＝30，即 2n＋1－2＝30，所以 n＝4.(2)由二项式定理得，a1＝－C＝－n，a2＝C＝，代入已知得－5n＋n(n－1)＝0，所以 n＝6，令 x＝－1 得(1＋1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，即 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝64.【点拨】运用赋值法求值时应充分抓住代数式的结构特征，通过一些特殊值代入构造相应的结构.【变式训练...
