1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词典例精析题型一 全称命题和特称命题的真假判断【例 1】判断下列命题的真假.(1)∀x∈R，都有 x2－x＋1＞；(2)∃α，β 使 cos(α－β)＝cos α－cos β；(3)∀x，y∈N，都有 x－y∈N；(4)∃x0，y0∈Z，使得 x0＋y0＝3.【解析】(1)真命题，因为 x2－x＋1＝(x－)2＋≥＞.(2)真命题，例如 α＝，β＝，符合题意.(3)假命题，例如 x＝1，y＝5，但 x－y＝－4∉N.(4)真命题，例如 x0＝0，y0＝3，符合题意.【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.【变式训练 1】已知命题 p：∃x∈R，使 tan x＝1，命题 q：∀x∈R，x2＞0.则下面结论正确的是( )A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧ q”是假命题C.命题“ p∨q”是真命题D.命题“ p∧ q”是假命题【解析】选 D.先判断命题 p和 q 的真假，再逐个判断.容易知命题 p 是真命题，如 x＝， p 是假命题；因为当 x＝0 时，x2＝0，所以命题 q 是假命题， q 是真命题.所以“p∧q”是假命题，A 错误；“p∧ q”是真命题，B 错误；“ p∨q”是假命题，C 错误；“ p∧ q”是假命题，D 正确.题型二 含有一个量词的命题的否定【例 2】写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0.【解析】(1) p：∃x∈R，x2－x＋＜0，是假命题.(2) q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.(3) r：∀x∈R，x2＋ 2x＋2＞0，是真命题.(4) s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题.【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.【变式训练 2】已知命题 p：∀x∈(1，＋∞)，log3x＞0，则 p 为 .【解析】∃x0∈(1，＋∞)，log3x0≤0.题型三 命题的真假运用【例 3】若 r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0，如果“对任意的 x∈R，r(x)为假命题”且“对任意的 x∈R，s(x)为真命题”，求实数 m 的取值范围.【解析】因为由 m＜sin x＋cos x＝sin(x＋)恒成立，得 m＜－；而由 x2＋mx＋1＞0 恒成立，得 m2－4＜0，即－2＜m＜2. 依题意，r(x)为假命题且 s(x)为真命题...
