10.5 直线、平面垂直的判定及其性质典例精析题型一 面面垂直的判定与性质【例 1】 平面 α⊥平面 β，A∈α，B∈β，AB 与平面 α、β 所成的角分别为和，求 AB 与 α，β的交线 l 所成的角的大小.【解析】过 A、B 分别作 AA′⊥l，BB′⊥l，垂足分别为 A′、B′，则 AA′⊥β，BB′⊥α.连接 A′B，AB′，则∠ABA′＝，∠BAB′＝.设 AB＝1，则 AA′＝，AB′＝，BB′＝，所以 A′B′＝.过B 作 BC∥l 且 BC＝，连接 A′C、AC，则∠AB C 为 AB 与 l 所成的角，因为 A′B′BC，且 B′B⊥A′B′，所以 A′B′BC 为矩形，所以 A′C⊥BC.又因为 AA′⊥BC，AA′∩A′C＝A′，所以 BC⊥平面 AA′C，所以 AC⊥BC.在 Rt△ACB 中，cos∠ABC＝＝，所以∠ABC＝，即 AB 与 l 所成的角为.【点拨】此题关键是根据面面垂直的性质，构造直角三角形.【变式训练 1】如图一所示，已知四棱柱 A BCD－A1B1C1D1 的底面为正方形，O1、O 分别为上、下底面的中心，且 A1 在底面 ABCD 内的射影是 O.求证：平面 O1DC⊥平面 ABCD.【证明】要证明平面 O1DC 与平面 ABCD 垂直，考虑到图中已知平面 ABCD 的垂线 A1O，因而设法在平面 O1DC 中找出 A1O 的平行线.如图二所示，连接 AC，BD，A1C1，则 O 为 AC、BD 的交点，O1 为 A1C1、B1D1 的交点.由棱柱的性质知：A1O1∥OC，且 A1O1＝OC，所以四边形 A1OCO1 为平行四边形，所以 A1O∥O1C.又 A1O ⊥平面 ABCD，所以 O1C⊥平面 ABCD，又 O1C⊂平面 O1DC，所以平面 O1DC⊥平面 ABCD.题型二 线面垂直的判定与性质【例 2】 Rt△ABC 所在平面外一点 S 满足 SA＝SB＝SC，D 为斜边 AC 的中点.(1)求证：SD⊥平面 ABC；(2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC.【证明】(1)设 E 是 AB 的中点.因为 D 是 AC 的中点.1所以 DE∥BC，又 BC⊥AB，所以 DE⊥AB.因为 SA＝SB，所以 SE⊥AB，又 SE∩DE＝E，所以 AB⊥平面 SDE，而 SD⊂平面 SDE，所以 AB⊥SD，又 SA＝SC，D 为 AC 的中点，所以 SD⊥AC.而 AB∩AC＝A，所以 SD⊥平面 ABC.(2)若 AB＝BC，则 BD⊥AC.又由(1)知，SD⊥平面 ABC，所以 SD⊥BD，而 SD∩AC＝D，所以 BD⊥平面 SAC.【点拨】证明直线与平面垂直，关键在于证明直线与平面内的两相交直线垂直.【变式训练 2】如图，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则 C1 在上底面 ABC上...
