10.7 空间角及其求法典例精析题型一 求异面直线所成的角【例 1】(2012 天津模拟)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 BC，CC1 上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值；(2)求证：AF⊥平面 A1ED；(3)求二面角 A1－ED－F 的正弦值.【解析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点，设 AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，，0).易得 EF ＝(0，，1)，DA1＝(0,2，－4)，于是 cos〈 EF ，DA1〉＝||||11DAEFDAEF＝－.所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为.(2)证明：易知 AF ＝(1,2,1)， 1EA ＝(－1，－，4)，ED ＝(－1，，0)，于是 AF ·1EA ＝0，AF · ED ＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.又 EA1∩ED＝E，所以 AF⊥平面A1ED.(3)设平面 EFD 的法向量 u＝(x，y，z)，不妨令 x＝1，可得 u＝(1,2，－1)，由(2)可知，AF 为平面 A1ED 的一个法向量.于是 cos〈u， AF 〉＝AFAF|| uu＝，从而 sin〈u， AF 〉＝.所以二面角 A1－ED－F 的正弦值为.方法二：(1)设 AB＝1，可得 AD＝2，AA1＝4，CF＝1，CE＝.连接 B1C，BC1，设 B1C 与 BC1 交于点 M，易知 A1D∥B1C.由＝＝，可知 EF∥BC1，故∠BMC 是异面直线 EF 与 A1D 所成的角.易知 BM＝CM＝B1C＝，所以 cos∠BMC＝CMBMBCCMBM222＝.所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为.(2)证明：连接 AC，设 AC 与 DE 交于点 N，因为＝＝，所以 Rt△DCE∽Rt△CBA.从而∠CDE＝∠BCA.又由于∠CDE＋∠CED＝90°，所以∠BCA＋∠CED＝90°.故 AC⊥DE.1又因为 CC1⊥DE 且 CC1∩AC＝C，所以 DE⊥平面 ACF.从而 AF⊥DE.连接 BF，同理可证 B1C⊥平面 ABF.从而 AF⊥B1C，所以 AF⊥A1D.因为 DE∩A1D＝D，所以 AF⊥平面 A1ED.(3) 连 接 A1N ， FN. 由 (2) 可 知 DE⊥ 平 面 ACF. 又 NF⊂ 平 面 ACF ， A1N⊂ 平 面 ACF ， 所 以DE⊥NF ，DE⊥A1N.故∠A1NF 为二面角 A1－ED－F 的平面角.易知 Rt△CNE∽Rt△CBA，所以＝.又 AC＝，所以 CN＝.在 Rt△CNF 中，NF＝＝.在 Rt△A1AN 中，A1N＝＝.连接 A1C1，A1F，在 Rt△A1C1F 中，A1F＝＝.在△A1NF 中，cos∠A1NF＝＝.所以 sin∠A1NF＝. 所以二面角 A1－ED－F 的正弦值为.【点拨】本题主要考查异面直线所成的角，直线与平面垂直，...
