两直线的位置关系（3）一．课题：两直线的位置关系（3）二．教学目标：1.理解并会准确地表述两条直线的夹角和直线到的角的概念，知道它们的联系和区别；2. 掌握两条直线夹角和直线到的角的计算公式及推导，并会进行应用；3．培养学生周密分析，严格论证的能力，进一步体会解几的基本思想和方法。三．教学重点：两条直线的夹角及两条直线的夹角公式。四．教学难点：区别“到角”和“夹角”的概念。五．教学过程：（一）复习：1．两条直线平行和垂直的充要条件是什么？2．两条直线在什么条件下相交？（二）新课讲解：问题引入：如图，直线和相交构成几个角，它们有什么关系？1．直线到直线的角定义：把直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，叫做到的角。（图中的）说明：（1）范围：；（2）是直线到的角，且+=．2．两直线的夹角由上面的定义可知，当和不相等时必有一个是锐角，一个是钝角。定义：当直线和相交但不垂直时，我们把其中的锐角叫做两条直线的夹角，记为，当时，直线和的夹角是．夹角的范围：．3．到角公式和夹角公式及其推导设直线和的斜率分别是、，直线到的角为 ，直线和的方程分别是：，：，121l2l（1）若，即=时， =；（2）当时，设、的倾斜角分别是、，则， （让学生思考以后，画图，注意两种情况）由图可知：，或∴或]，而，∴．结论：（1）到角公式：；（2）夹角公式：=．说明：公式的适用范围是两直线都有斜率，并且不垂直，对于两直线中有一条的斜率不存在时，用数形结合求解。（三）例题分析：例 1．求直线：，：的夹角（用反三角函数表示）。解：∵，，∴，∴．例 2．已知直线：，直线：（，，），直线到的角为 ，求证：．证明：设两条直线的斜率分别为、，则，，∴．例 3．求直线与直线的夹角。（解法：数形结合，答案：）．例 4．等腰三角形一腰所在的直线的方程为，底边所在的直线的方程为，点在另一腰上，求这条腰所在直线的方程。解：设的斜率分别为，到的角为，到的角为，则，，，∵组成的三角形是等腰三角形，∴，∴，即，把代入，得，∵直线经过点，∴由点斜式方程得，即，这就是直线的方程。六．课堂练习：1．课本 P50 第 1（1）2（2）（3）；2．补充：已知直线 过点，且与直线的夹角为，求直线 的方程。（答案：或）．七．小结：1．直线到的角的概念、两直线夹角的概念及它们的区别；2．到角与夹角的计算公式及应用条件。八．作业：1．课本第 54 页第 8、9、10 题；2．数学之友 P45 B（1） C（2）．
