7.2 热点小专题三、圆锥曲线的离心率必备知识精要梳理1.椭圆中,由 a 与 b 的关系可以求离心率,e=ca=❑√1-( ba)2.双曲线中,由 a 与 b 的关系可以求离心率,e=ca=❑√1+( ba)2.2.椭圆的离心率的取值范围 e∈(0,1),双曲线的离心率的取值范围 e∈(1,+∞).3.等轴双曲线是一类特殊的双曲线,等轴双曲线的离心率为 e=❑√2.4.求椭圆(或双曲线)的离心率:求椭圆(或双曲线)的离心率就是要找椭圆(或双曲线)中 a与 c 的关系,常将椭圆(或双曲线)的条件与 c2=a2-b2(或 c2=a2+b2)相结合,转化为关于 a,c 的等式(或不等式),进而化成关于 e 的方程(或不等式)求解.关键能力学案突破热点一椭圆的离心率类型一 求椭圆的离心率【例 1】(2020 湖南怀化一模,15)若椭圆 x2a2 + y2b2=1(a>b>0)的左焦点为 F1,点 P 在椭圆上,点 O 为坐标原点,且△OPF1为正三角形,则椭圆的离心率为 . 解题心得本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解,常见的有两种方法:① 求出 a,c,代入公式 e=ca;② 只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,转化为关于 a,c 的齐次式,然后转化为关于 e 的方程,即可得 e 的值.【对点训练 1】已知 F1,F2是椭圆 C: x2a2 + y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为❑√36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则 C 的离心率为( ) A.23B.12C.13D.14类型二 求椭圆离心率的范围【例 2】(2019 贵州凯里第一中学高二下学期期中考试)已知椭圆 C: x2a2 + y2b2=1,a>b>0,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,若椭圆 C 上存在点 P(x0,y0)(x0≥0)使得∠PF1F2=60°,则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.❑√22,1B. 0,❑√22C. 12,1D. 0,12解题心得椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率的取值范围,常见有两种方法:(1)求出 a,c,代入公式 e=ca;(2)只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,结合 b2=a2-c2转化为 a,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以 a2转化为关于 e 的方程(或不等式),解方程(或不等式)即可得 e 的取值范围.【对点训练 2】(2019 福建龙岩高三 5 月月考)已知点 F 为椭圆 C: x2a2 + y2b2=1(a>b>0)的左焦点,直线 y=kx(k>0)与 C 相交于 M,N 两点(其中 M 在第一象限),若|MN|=2❑√a2-b2,|FM|≤❑√3|FN|,则 C 的离心率的最大值是 . 热点二双曲线的离心率类型一 求双曲线的离心率(多维探究)方法一 ...
