1．3.2 奇偶性[读教材·填要点]1．函数的奇偶性奇偶性条件偶函数对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) 奇函数对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) 2.奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于 y 轴 对称．(2)奇函数的图象关于坐标原点对称．[小问题·大思维]1．对于某个函数 f(x)，若存在 x0使得 f(－x0)＝f(x0)，(f(－x0)＝－f(x0))，这个函数是偶函数(奇函数)吗？提示：不是．函数的奇偶性是函数整个定义域上的性质，必须是对任意的 x 都成立才能说明该函数具有奇偶性．2．若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)为何值？提示： f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(－0)＝－f(0)，即 2f(0)＝0.∴f(0)＝0.3．函数 f(x)＝x3，x∈[－1,1)是奇函数吗？当 x∈[－1,1]时呢？提示：函数 f(x)＝x3，x∈[－1,1)是非奇非偶函数，而当 x∈[－1,1]时为奇函数．判断函数的奇偶性[例 1] 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝x|x|；(3)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(4)f(x)＝＋；(5)f(x)＝.[自主解答] (1) x∈R，∴－x∈R.又 f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2) x∈R，∴－x∈R.又 f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3) x∈R，∴－x∈R，1又 f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4) 定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．(5)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1 且 x≠0, 则－1≤－x≤1，且－x≠0，又 f(－x)＝＝－＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(1)定义法判断函数奇偶性的步骤是先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称则说明函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则再求 f(－x)，并判断 f(－x)＝ ±f(x) 是 否 成 立 来 确 定 奇 偶 性 ． 有 时 还 可 以 用 其 等 价 式 f( － x)±f(x) ＝ 0 或 ＝±1(f(x)≠0)来判断．————————————————————————————————————————(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝(x－1).解：(1)由得 2≤x2≤2，∴x＝±，即函数定义域为{－，}，关于原点对称．又 f(－)＝0＝f()，且 f(－)＝－f()＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由 1＋x≥0 得 x≥－1，定义域不关于原点对称...
