§3.3 导数的应用(二)2014 高考会这样考 1.利用导数研究函数的单调性、极值、最值等综合问题；2.利用导数研究方程根的个数，证明不等式或不等式恒成立问题；3.利用导数解决实际问题．复习备考要这样做 1.理解数形结合思想、转化思想在导数中的应用；2.会建立函数模型解决不等式问题、实际问题等．1． 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y＝f(x)；(2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．2． 不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．[难点正本 疑点清源]1． 实际问题的最值(1)注意函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．2． 判断方程根的个数时，可以利用数形结合思想及函数的单调性．1. 如图，水波的半径以 50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为 250 cm时，水波面的圆面积的膨胀率是____________ cm2/s.答案 25 000π 解析 设时间 t 时，水波圆的半径、面积分别为 r、s，则 r＝50t，S＝πr2＝π·(50t)2＝2 500πt2，则 S′＝5 000πt，而 r＝250 时，t＝5，故 S′(5)＝25 000π(cm2/s)．2． 若函数 f(x)＝x＋asin x 在 R 上递增，则实数 a 的取值范围为________．答案 [－1,1]解析 f′(x)＝1＋acos x，∴要使函数 f(x)＝x＋asin x 在 R 上递增，则 1＋acos x≥0 对任意实数 x 都成立． －1≤cos x≤1，① 当 a>0 时，－a≤acos x≤a，∴－a≥－1，∴0
