四川省富顺县第三中学高二学案：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【学习目标】1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；【重点难点】重点空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；难点空间向量的坐标运算的规律【导学过程】一、自主学习（预习教材 P92-96找出疑惑之处）复习 1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量，是平面上两个 向量，总是存在 实数对，使得向量可以用来表示，表达式为 ，其中叫做 . 若，则称向量正交分解. 复习 2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取 x 轴和 y 轴上的 向量作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数 x，y，使得，，则称有序对为向量的 ，即＝ .二、小组合作探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：1 空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使. 如果两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量 ，对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把 的一个基底，都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.⑶ 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.⑷ 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a，且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量 a 的坐标，记着 .⑸ 设 A，B，则＝ .⑹ 向量的直角坐标运算：设 a＝，b＝，则⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷a·b ＝.班级 小组 姓名 试试：1. 设，则向量的坐标为 . 12. 若 A，B，则＝ .3. 已知 a＝，b＝，求 a＋b，a－b，8a，a·b三、知识整合例 1 已知向量是空间的一个基底，从向量中选哪一个向量，一定可以与向量 构成空间的另一个基底？变式：已知 O,A,B,C 为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点 O,A,B,C 是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.例 2 如图，M,N 分别是四面体 QABC 的边 OA,BC 的中点，P,Q 是 MN 的三等分点，用表示和.表示和. 变式：已知平行六面体，点 G是侧面的中心，且，，试用向量...
