高考达标检测（十九）正、余弦定理的3——个基础点边角、形状和面积一、选择题1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝30°，若B为锐角，则A∶B∶C＝()A．1∶1∶3B．1∶2∶3C．1∶3∶2D．1∶4∶1解析：选B因为a＝1，b＝，A＝30°，B为锐角，所以由正弦定理可得sinB＝＝，则B＝60°，所以C＝90°，则A∶B∶C＝1∶2∶3.2．如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．根据增加的长度确定三角形的形状解析：选A设原来直角三角形的三边长是a，b，c且a2＝b2＋c2，在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的长度，设为d，原来的斜边仍然是最长的边，故cosA＝＝>0，所以新三角形中最大的角是一个锐角，故选A.3．(2018·太原模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，且b＝a，则下列关系一定不成立的是()A．a＝cB．b＝cC．2a＝cD．a2＋b2＝c2解析：选B由余弦定理，得cosA＝＝＝，则A＝30°.又b＝a，由正弦定理得sinB＝sinA＝sin30°＝，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，△ABC为直角三角形，且2a＝c，可知C、D成立；当B＝120°时，C＝30°，所以A＝C，即a＝c，可知A成立，故选B.4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝()A.B.C.D.解析：选B如图所示，设CD＝a，则易知AC＝a，AD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝.5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于()A.B.C．－D．－解析：选C因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，则由面积公式与余弦定理，得absinC＝2abcosC＋2ab，即sinC－2cosC＝2，所以(sinC－2cosC)2＝4，即＝4，所以＝4，解得tanC＝－或tanC＝0(舍去)．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＋c2－a2＝bc，AB·BC>0，a＝，则b＋c的取值范围是()A.B.C.D.解析：选B在△ABC中，b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝＝＝， A是△ABC的内角，∴A＝60°. a＝，∴由正弦定理得＝＝＝＝1，∴b＋c＝sinB＋sin(120°－B)＝sinB＋cosB＝sin(B＋30°)． AB·BC＝|AB|·|BC|·cos(π－B)>0，∴cosB<0，B为钝角，∴90°
