高考数学总复习第四章 平面向量与复数第3课时 平面向量的数量积及平面向量VIP免费

页)考情分析考点新知①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直．①平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示.②了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.1.(必修4P77练习第2(1)题改编)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________．答案：－3解析：a·b＝|a|·|b|cos135°＝2×3×＝－3.2.(必修4P80练习第3题改编)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．答案：解析： cos〈a，b〉＝＝，∴〈a，b〉＝.3.(必修4P81习题2.4第2题改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________．答案：解析：|a－b|＝＝＝＝.4.(必修4P81习题2.4第3(1)题改编)已知两个单位向量e1、e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．答案：－6解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝，所以b1·b2＝3－2×－8＝3－1－8＝－6.5.(必修4P84习题4改编)若平面四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该四边形一定是________．答案：菱形解析：四边形ABCD满足AB＋CD＝0知其为平行四边形，(AB－AD)·AC＝0即DB·AC＝0知该平行四边形的对角线互相垂直，从而该四边形一定是菱形．1.向量数量积的定义(1)向量a与b的夹角(2)已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0.2.向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与b的夹角，则(1)e·a＝a·e.(2)a⊥ba·b＝0．(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；特殊的，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cosθ＝.(5)|a·b|≤|a|·|b|.3.向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．4.平面向量数量积的坐标表示(1)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.故a⊥bx1x2＋y1y2＝0.(2)设a＝(x，y)，则|a|＝．(3)若向量a＝(x1，y1)与向量b＝(x2，y2)的夹角为θ，则有cosθ＝＝.[备课札记]题型1向量平行与垂直的充分条件例1已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|的值．解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，a－b＝(－2，0)，∴|a－b|＝＝2；当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，a－b＝(2，－4)，∴|a－b|＝＝2.综上，可知|a－b|＝2或2.已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－ka＋b，m∈R，k、t为正实数．(1)若a∥b，求m的值；(2)若a⊥b，求m的值；(3)当m＝1时，若x⊥y，求k的最小值．解：(1)因为a∥b，所以1·m－2·(－2)＝0，解得m＝－4.(2)因为a⊥b，所以a·b＝0，所以1·(－2)＋2m＝0，解得m＝1.(3)当m＝1时，a·b＝0.因为x⊥y，所以x·y＝0.则x·y＝－ka2＋a·b＋(t＋)b2＝0.因为t＞0，所以k＝t＋≥2，当t＝1时取等号，即k的最小值为2.题型2向量的夹角与向量的模例2已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．解：(1) (2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.(3) AB与BC的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，∴S△ABC＝|AB||BC|sin∠ABC＝×4×3×＝3.已知非零向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，...