2.4.3 利用导数证明问题及讨论零点个数必备知识精要梳理1.与 ex、lnx 有关的常用不等式的结论(1)由 f(x)=ex图象上任一点(m,f(m))的切线方程为 y-em=em(x-m),得 ex≥em(x+1)-mem,当且仅当x=m 时,等号成立.当 m=0 时,有 ex≥x+1;当 m=1 时,有 ex>ex.(2)由过函数 f(x)=ln x 图象上任一点(n,f(n))的切线方程为 y-ln n=1n(x-n),得 ln x≤1nx-1+ln n,当且仅当 x=n 时,等号成立.当 n=1 时,有 ln x≤x-1;当 n=e 时,有 ln x≤1ex.2.证明含参数的函数不等式,其关键在于将所给的不等式进行“改造”,得到“一平一曲”,然后运用导数求出“曲”的最值,将其与“平”进行比较即可.3.求解导数应用题宏观上的解题思想(1)借助导函数(正负)研究原函数(单调性);重点是把导函数先“弄熟悉”;(2)为了把导函数先“弄熟悉”采取的措施:① 通分;② 二次求导或三次求导;③ 能画出导函数草图是最好的!关键能力学案突破热点一利用导数证明不等式(多维探究)类型一 单未知数函数不等式的证明【例 1】已知函数 f(x)=ex-ln(x+m).(1)略;(2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0.解题心得 1.对于含有参数的一个未知数的函数不等式,其证明方法与不含参数的一个未知数的函数不等式证明大体一致.可以直接证明,也可以放缩后再证明,也可以分离参数后,利用导数求最值来证明.2.证法 1 与证法 2 中出现的 x0的具体数值是无法求解的,只能求出其范围,我们把这种零点称为“隐性零点”.证法 2 比证法 1 简单,这是因为利用了函数单调性将命题 ex-ln(x+m)>0 加强为 ex-ln(x+2)>0,转化为研究一个特例函数的问题,从而大大降低了题目的难度.证法 2 中,因为φ(x0)的表达式涉及ex0、ln(x0+2),都是超越式,所以 φ(x0)的值不好计算,由此,需要对“隐性零点”满足的式子ex0−1x0+2=0 进行变形,得到两个式子ex0=1x0+2和 ln(x0+2)=-x0,然后进行反代,从而将超越式转化为初等式.“反代”是处理“隐性零点”问题的常用策略.【对点训练 1】已知函数 f(x)=a x2+x -1ex.(1)求曲线 y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)求证:当 a≥1 时,f(x)+e≥0.【例 2】已知函数 f(x)=x+ax.(1)略;(2)设函数 g(x)=ln x+1,证明:当 x∈(0,+∞)且 a>0 时,f(x)>g(x).解题心得欲证函数不等式 f(x)>g(x)(x∈I,I 是区间),设 h(x)=f(x)-g(x)(x∈I),即证 h(x)>0,为此研究 h(x)的单调性,先求 h'(x)的零点,根据零点确定 h(x)在给定区间 I 的正负,若 h(x)在区间 I 内递增或递...
