江苏省苏州市第五中学高三数学 圆锥曲线中的最值问题复习学案美国心理学家布鲁纳指出：“探索是数学教学的生命线”。探索得来的知识最难忘、最深刻，比教师直接给出的更有效，学生能体会到 “发现”的真正乐趣。而探索并不神秘又非不可高攀。教学中，可以从最基本的问题开始，这也许就是数学探索课的可行之路。下面是笔者粉笔生涯中的一堂数学探索课。问题 1 如图 1，如何在直线L 上求一点 P，使最小。问题 2 目如图 2，如何在直线 L 上求一点 P，使最大。 学生 1：对于问题 1，只要过 A 作关于 L 的对称点，再连结交直线 L 于 P 点，即所求。因为两点之间线段最短。对于问题 2，只要连结 AB 并延长交直线 L 于 P 点，即所求。因为三角形任意两边之差小于第三边。教师：看来在一条直线上找一点到两个定点的距离之和最小、距离之差最 大对我们来说很容易，现在看下面的问题。问题 3 若 A（3， 2），F 为抛物线的焦点，在抛物线上找一点 P，使最小及取得最小值时 P 点的坐标。学 生 2 ： 过 A 点 作 抛 物 线的 准 线 L 的 垂 线 AD 交 抛 物 线 于 P 点 ， 此 时，就是最小的。因为点到直线的所有线中，只有点到直线的距离最短。教师：与问题 1 比较，你发现了什么？学生 3：（3 分钟后）我认为问题 3 与问 题 1 的本质是一样的，都是在线（直线和曲线）找一点到两个定点的距离之和最小。并且解决的方法也一样，问题 3 中的 D 点就“好比”是 F 点关于抛物线（曲线）的“对称”点。如果我们把问题 1 中的直线想象成是拉直的曲线，那问题 1 不就是问题 3 的特殊情况吗？问题 3 不就是问题 1 的推广吗？（全班给予热烈的掌声）变式问题： 已知 A（3，2），F（2，0） ，在双曲线上求一点 P，使其的值最小。学生 4：与问题 3 的解题思路完全一样，只不过，此处要利用双曲线的 定义来作“对LABP图 1LYOXPFDA图 3图 2LPBA称”。（后略）问题 4：已知双曲线，是左焦点，A（-3，-1），在双曲线上求一点 P使的值最小。（2 分钟后）学生 5：此题应作出双曲线的右焦点，连结交双曲线于 P 点，即为 所 求 。 因 为 由 双 曲 线 定 义 知 ，， 即，，此题是利用双曲线定义作的关于双曲线的“对称点”，转化成问题 1 的形式来求解的。教师：你分析得很好！请大家课后去解答完。下面谁来谈谈解决这类问题的收获？学生 6：老师，我...
