北京第十八中学高三数学第一轮复习 42 三角恒等变换教学案（教师版）

教案 42 三角恒等变换一、课前检测1.若 为第三象限角，且 ，则等于__________。答案：2.函数的最大值是____________。答案：33.函数的值域是___________。答案：二、知识梳理1．基本公式 解读：2．二倍角切化弦公式 解读：3．降幂公式 解读：三、典型例题分析用心 爱心 专心1例 1．已知 tan(α－β)＝21 ， tan β＝-71 ，且 α、β∈（0， ），求 2α－β 的值.解：由 tanβ＝－71 β∈(0，π)得 β∈(2 , π) ①由 tanα＝tan[(α－β)＋β]＝31 α∈(0，π)得 0＜α＜2 ∴ 0＜2α＜π由 tan2α＝43 ＞0 ∴知 0＜2α＜2 ② tan(2α－β)＝tan2tan1tan2tan＝1由①②知 2α－β∈(－π，0)∴2α－β＝－43(或利用 2α－β＝2(α－β)＋β 求解)变式训练：在△ABC 中，22cossinAA，2AC，3AB，求 tan A 的值和△ABC 的面积．解： sinA＋cosA＝22 ① 2sinAcosA＝－21从而 cosA＜0 A∈( ,2)∴sinA－cosA＝AAAAcossin4)cos(sin2 ＝26 ②据①②可得 sinA＝426  cosA＝426 ∴tanA＝－2－3S△ABC＝4)26(3小结与拓展：例 2．求证：2sinsin2coscos1＝cos1sin用心 爱心 专心2证明：左边＝)2cos21(2sin)2cos21(2cos2sin2cos2sin22cos2cos22＝cos1sin2cot2sin2cos＝右边变式训练：化简 sin2 ·sin2  +cos2 cos2  -21 cos2 ·cos2  .解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）原式=sin2 ·sin2  +cos2 ·cos2  -21 ·(2cos2 -1)·(2cos2  -1)=sin2 ·sin2  +cos2 ·cos2  -21 (4cos2 ·cos2  -2cos2 -2cos2  +1)=sin2 ·sin2  -cos2 ·cos2  +cos2 +cos2  -21=sin2 ·sin2  +cos2 ·sin2  +cos2  -21=sin2  +cos2  -21 =1-21 =21 .方法二 （从“名”入手，异名化同名）原式=sin2 ·sin2  +(1-sin2 )·cos2  -21 cos2 ·cos2 =cos2  -sin2 (cos2  -sin2  )-21 cos2 ·cos2 =cos2  -sin2 ·cos2  -21 cos2 ·cos2 =cos2  -cos2  ·2cos21sin2=22cos1-cos2  ·)sin21(21sin22=22cos1-21 cos2  =21 .方法三 （从“幂...