福建省长泰一中高考数学一轮复习《不等式的应用》学案 1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题．例 1.若关于 x 的方程 4x＋a·2x＋a＋1＝0 有实数解，求实数 a 的取值范围.解:令 t＝2x(t＞0)，则原方程化为 t2＋at＋a＋1＝0，变形得变式训练 1：已知方程 sin2x－4sinx＋1－a＝0 有解，则实数 a 的取值范围是 （ ）A．[－3，6]B．[－2，6]C．[－3，2]D．[－2，2]解:B＞0 为比例系数.依题意，即所求的 a，b 值使 y 值最小.根据题设，有 4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)，得 b＝(0＜a＜30) ①于是 y＝＝典型例题基础过关≥当 a＋2＝时取等号，y 达到最小值.这时 a＝6，a＝－10(舍去).两车的距离不能小于()2千米，运完这批物资至少需要（ ）A．10 小时 B．11 小时C．12 小时 D．1 3 小时解:C例 3. 已知二次函数 y＝ax2＋2bx＋c，其中 a＞b＞c 且 a＋b＋c＝0.（1） 求证：此函数的图象与 x 轴交于相异的两个点.（2） 设函数图象截 x 轴所得线段的长为 l，求证：＜l＜2.证明:(1)由 a＋b＋c＝0 得 b＝－(a＋c).Δ＝(2b)2－4ac＝4(a＋c)2－4ac＝4(a2＋ac＋c2)＝4[(a＋)2＋c2]＞0.故此函数图象与 x 轴交于相异的两点.(2) a＋b＋c＝0 且 a＞b＞c，∴a＞0，c＜0.由 a＞b 得 a ＞－(a＋c)，∴＞－2.由 b＞c 得－(a+c)＞c，∴＜－.∴－2＜＜－. l＝|x1－x2|＝.由二次函数的性质知 l∈(，2)变式训练 3：设函数 f(x)＝x2＋2bx＋c (c＜b＜1)，f(1)＝0，且方程 f(x)＋1＝0 有实根．(1)证明：－3＜c≤－1 且 b≥0；(2)若 m 是方程 f(x)＋1＝0 的一个实根，判断 f(m－4)的正负，并加以证明．证明:(1)又 c＜b＜1，故又方程 f(x)＋1＝0 有实根，即 x2＋2bx＋c＋1＝0 有实根．故△＝4b2－4(c－1)≥0，即(c＋1)2－4(c＋1)≥0c≥3 或 c≤－1由由(2)f(m)＝－1＜0∴c＜m＜1c－4＜m－4＜－3＜c∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)＞0∴f(m－4)的符号为正．例 4. 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距 S(千米)，水速为常量 p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为 q(千米/小...
