福建省长泰一中高考数学一轮复习《不等式证明》（二）学案例 1. 已知 f(x)＝x2＋px＋q，(1) 求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2) 求证：｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于． 证明: (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2(2)用反证法。假设｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于，则｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3) ｜＜2，而｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，出现矛盾.∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于.变式训 练 1：设，那么三个数、、 （ ）A．都不大于 2B．都不小于 2 C．至少有一个不大于 2 D．至少有一个不小于 2解:D例 2. （1） 已知 x2＋y2＝1，求证:.（2） 已知 a、b∈R，且 a2＋b2≤1，求证:.证明:(1)设基础过关∴ (其中)∵ ∴ (2)令(其中 k 2≤1),则≤故原不等式成立.变式训练 2： 设实数x，y 满足 x2＋(y－1)2＝1，当 x＋y＋c≥0 时，c 的取值范围是（ ）A.B. C.D.解:A例 3. 若，求证：证明：当时 即故原不等式成立．综合(1)和(2)可知，，即．变式训练 4：设二次函数，若函数的图象与直线和均无公共点．(1) 求证：(2) 求证：对于一切实数恒有证明：(1)由 ax2＋(b－1)x＋c＝0 无实根，得 Δ1＝(b－1)2－4ac<0由 ax2＋(b＋1)x＋c＝0 无实根得 Δ2＝(b＋1)2－4ac<0两式相加得：4ac－b2>1(2)∵4ac－b2>1>0，∴a(x＋) 与同号，∴｜ax＋bx＋c｜＝｜ a(x＋)2＋｜＝｜a｜(x＋) ＋≥>归纳小结1．凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法．2．在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性．3．放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等．4．含有字母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制．
